预祝广大考生考试顺利！！！
——随风
概率论与数理统计
复旦大学
习题一
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：? （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；?
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.? 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.? 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？? 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.?
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
第 1 页 共 43 页 1
预祝广大考生考试顺利！！！
——随风
=
11113++?= 44312413.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，
计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.
1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?
C735故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?22 3514.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38
16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球
数相等的概率.
【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则
212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?03 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)
=0.32076
18.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.
（1） p(BA)?222233P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7
19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男
为女是等可能的）.
【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故
P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.
第 2 页 共 43 页
2
预祝广大考生考试顺利！！！
——随风
P(BA)?6 720.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是
男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?
P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.00252123.?设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A?)PAB()?
P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) ?0.7?0.51?
0.7?0.6?0.5424.?在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比
赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新
球}
由全概率公式，有
P(B)??P(BAi)P(Ai)
i?03
312321333C3CCCCCCCCC?36?39?936?38?936?37?39?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089
27.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱
子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）? 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=
出一球为白球}.由贝叶斯公式知
1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B)?2
P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31?
1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确
第 3 页 共 43 页
3
预祝广大考生考试顺利！！！
——随风
是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?
P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998
0.96?0.98?0.04?0.05
30.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为
0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)
i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.?设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概
率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
1?(0.8)n?0.9
即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.
n习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】
X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.1C353
?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P
第 4 页 共 43 页
4
3 0.1 4 0.3 5 0.6 预祝广大考生考试顺利！！！
——随风
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图； (3)
133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.
222【解】
X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
22 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数
34 35x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??
?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
第 5 页 共 43 页 5