水力学教学辅导
第10章 相似原理和量纲分析
【教学基本要求】
1、了解相似现象和流动相似的特征。
2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。
3、了解量纲和谐原理的基本概念。
【内容提要和学习指导】
实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。
这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。掌握正确组合无量纲量的组合方法。 10.1 相似现象和流动相似的特征
相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。
流动相似是图形相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。 10.2相似理论和牛顿相似准则
相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。
在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为：
（Ne）P=（Ne）M （10—1）
F式中牛顿数 ? L 2 ? 2 表示某种力与惯性力的比值，F可以是任何种类的力，下
Ne?标P和M分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。
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10.3重力相似准则和粘滞力相似准则
作用在液体上有许多种力，其中主要作用力是重力、惯性力和阻力，阻力又可分为粘滞阻力和紊动阻力。通过理论可以证明，要使作用在液体上所有的力同时满足相似条件是不可能的，也就是说流动的完全相似是做不到的。在模型试验中重力和粘滞阻力同时满足相似就是不可能的，除非长度比尺为λL＝1。
实际工程中作用在明渠水流上的主要作用力是重力、惯性力和紊动阻力，管流层流运动主要是惯性力和粘滞阻力。因此保证在主要作用力相似的条件下，可以使模型试验的精度满足实际工程的需要，为工程设计提供依据。
（1）对处于阻力平方区的明渠水流都要求满足重力相似准则（即佛汝德相似准则）和紊动阻力相似，其条件为：
（Fr）P=（Fr）M （10—2）
1np （10??6nML—3）
式中：n P、n M分别是原型和模型的糙率，λL是模型的长度比尺。
根据（10—2）和（10—3）式，可以导得满足重力相似和紊动阻力相似的其它物理量的比尺关系：
????L0.5流速比尺： （10—4）
???Q2.5L流量比尺： （10—5）
tL时间比尺： （10—6）
F?L作用力比尺： （10—7）
???0.5????3?P????L压强比尺： （10—8）
（2）管道层流运动的相似通常要求满足粘滞力相似准则（雷诺相似准则），即 （Re）P=（Re）M （10—9） 当长度比尺为λL时，其它物理量的比尺关系为：
2
????流速比尺： （10—10） ??LQ?L流量比尺： （10—11）
?1????????时间比尺： （10—12） t?L2作用力比尺： （10—13） ????F?12???????压强比尺： （10—14）
2?2LP?? 当采用同种液体进行模型试验时λv＝1，λρ＝1，上式作相应的变化。 10.4量纲分析
（1）依据量纲和谐原理，对水流运动的过程进行分析，建立客观的符合水流运动内在规律的物理方程是量纲分析的主要任务，也是进行科学研究的重要方法。
（2）单位和量纲的概念和关系
单位是度量物理量的基准，米、秒、千克是国际单位制中的基本单位；量纲是物理量种类，如长度量为〔L〕，时间量为〔T〕等。
单位和量纲的关系：单位是量纲的具体体现，量纲则是单位的抽象和概括。 （3）量纲和谐原理
我们通常用物理方程来反映某一个物理过程，假若这个方程能正确地反映这个物理过程的话，那么组成这个方程各项物理量的量纲（即物理量的种类）必须是相同的。其实这个概念我们在小学学习算术时老师就反复强度过，即：只有同名数才能相加减。它的本质就是量纲和谐原理主体部分。 10.5量纲分析方法—雷列法和π定理
【思 考 题】
10—1 流动相似具有哪三个特征？它们之间是什么关系？
10—2 为什么要提出相似准则？有哪2个主要相似准则？适用条件是什么？ 10—3 已知模型与原型相似的长度比尺，分别写出满足重力相似准则和粘滞力相似准则
的流速比尺、流量比尺和时间比尺。 【解 题 指 导】
例10—1渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速v0=0.6m/s，闸孔宽度b = 6m，下游为自由出流，闸门开度e =1.0m。今欲按长度比尺λ
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L=10设计模型，来研究平板闸门的流量系数μ，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流
速v0m；（2）如果在模型上测得某点的流量为Q m = 81.5 l/s，则原型上对应点的流量Q为多少？（3）闸门出流的流量系数μ为多少？
解：（1）模型尺寸设计和闸前行进流速：
因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。 模型的长度比尺为λL=10，则模型中的尺寸为
H.3 mb? ? ? 0上游水深 ? ? 0 ，闸孔宽度 .6 m m ?H310b610?Lm?L1.0 闸门开度 e e ?? ?0.1mm?L10? ? ?重力相似准则条件下流速比尺 L ?0???19 ∴ 0 m ? 0 .5 ? ? 0 . m / s
10??L0.5?0?0.6 （2）原型流量Q的计算
.5重力相似准则条件下的流量比尺 ? Q ? ? 2
2.532.5 ∴Q = QM×λQ= QM?× = 0.0815×10=25.76 m/s
L即原型上的流量为25.76 m3/s 。 （3）计算流量系数μ
流量系数μ是常数，在原型和模型上都相同。
Q???be2gH 根据平板闸门自由出流计算公式： s 0L行近流速很小，可以忽略不计H0 = H，自由出流σs = 1 。
? ?? ? 0 ∴ .56
be2gH6?1?19.6?3Q25.76即平板闸门闸孔出流的流量系数为0.56 。
例10—2 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数υ0=1.31×10-4 m2/s，管中通过油的流量Q = 0.1 m3/s。现用10 0C的水和管径d m= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
?? ?解：该管道模型的几何比尺为 L ? 10
ddm505 ∴ l m ? l ? 200 ? 20 m
?L10判别原型管道中的流态：
s ? ? ? ? 0 . 51 m/
AQ0.1?43.14?0.520.51?0.5 ? ? 1947 ? 2000 R ?e?d?01.31?10?4管内为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm 。
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100C水的运动粘滞系数为υ=0.0131×10-4m2/s，模型运动粘滞系数比尺为
1.31?10?4????100???40.0131?100?流量比尺λ
Q =λ×λ
QL
2
= 100×102 = 10000
模型管道中的流量Qm 应为
Q ? ? ? 0 . 00001 m 3 / s ? 0. 01 l /s
m?Q0.110000
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