武汉市2017届高中毕业生四月调研测试数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21．已知复数z?，则复数z在复平面内的点位于（ ）
i(3?i)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1,x?Z}，则A?B?（ ） 2A．{1,3} B．{1,2,3} C．{1,3,4} D．{1,2,3,4}
3．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4?4，S6?12，则S2?（ ） A．?1 B．0 C．1 D．3
4．在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP,NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积
2．已知集合A?{1,3}，B?{x|0?lg(x?1)?大于60cm的概率为（ ）
21113 B． C． D． 42345．执行如图所示的程序框图，则输出的k?（ ）
A．
A．7 B．8 C． 9 D．10
6．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数
y?Asin(?x??)?b，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）
3?)?20,x?[6,14]
84?5?)?20,x?[6,14] B．y?10sin(x?84?3?)?20,x?[6,14] C． y?10sin(x?84?5?)?20,x?[6,14] D．y?10sin(x?8817．已知数列{an}满足a1?1，a2?，若an(an?1?2an?1)?3an?1?an?1(n?2,n?N?)，
3则数列{an}的通项an?（ ）
1111A．n?1 B．n C． n?1 D．n?1
32?122?1?x?y?016?8．已知实数x,y满足约束条件?x?2y?4，如果目标函数z?x?ay的最大值为，则实
3?x?2y?2?A．y?10sin(?x?数a的值为（ ）
141411 C． 3或 D．3或? 3339．四棱锥P?ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．3 B．
A．
81?5 B．81?20 C． 101?101?5 D．20
10．已知圆C：(x?1)2?(y?4)2?10和点M(5,t)，若圆C上存在两点A,B，使得MA?MB，则实数t的取值范围为（ ） A．[?2,6] B．[?3,5] C． [2,6] D．[3,5] 11．已知函数f(x)?ex?a?e?x?2（a?R，e为自然对数的底数），若g?f(x)与y?f(f(x))的值域相同，则a的取值范围是
（ ）
A．a?0 B．a??1
C． 0?a?4 D．a?0或0?a?4
12．记min{a,b,c}为a,b,c中的最小值，若x,y为任意正实数，则
M?min{2x,1y,y?1x}的最大值是（ ）
A．1?2 B．2 C． 2?2 D．3
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．(x2?1x)6的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
14．在四面体P?ABC中，PA?PB?PC?BC?1，则该四面体体积的最大值
为 ．
15．已知直线MN过椭圆x22?y2?1的左焦点F，与椭圆交于M,N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P,Q两点，则|PQ|2|MN|? ．
16．已知?ABC的外接圆圆心为O，且?A?60?，若AO??AB??AC(?,??R)，则
???的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知?ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a?21，3b?2c?7，
A?60?．
（1）求b的值；
（2）若AD平分?BAC交BC于点D，求线段AD的长．
18．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；
（2）用?表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量?的分布列和数学期望．
19．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1ACC1?平面ABC，AB?BC?2，
?ACB?30?，?C1CB?120?，BC1?A1C，E为AC的中点． （1）求证：A1C?平面C1EB；
（2）求二面角A1?AB?C的余弦值．
20．已知圆O：x?y?1和抛物线E：y?x?2，O为坐标原点．
（1）已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M,N两点，且满足OM?ON，求直线l的方程；
（2）过抛物线E上一点P(x0,y0)作两直线PQ,PR和圆O相切，且分别交抛物线E于
222Q,R两点，若直线QR的斜率为?3，求点P的坐标．
21．已知函数f(x)?(x?a)2lnx,a?R．
（1）若a?3e，其中e为自然对数的底数，求函数g(x)?f(x)的单调区间； x（2）若函数f(x)既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
8k?x???x?2?tcos??1?k2kl已知曲线C：?（为参数）和直线：（t为参数）． ?2?y?1?tsin??y?2(1?k)?1?k2?（1）将曲线C的方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，且P(2,1)为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方
程．
23．选修4-5：不等式选讲
（1）求不等式|x?5|?|2x?3|?1的解集； （2）若正实数a,b满足a?b?1，求证：a?b?1． 2
武汉市2017届高中毕业生四月调研测试理科数学试卷答案
一、选择题
1-5: DBBAC 6-10: ABDCC 11-12:AD
二、填空题
13．15 14．
23 15．22 16．
31222222三、解答题
17．解：（1）由余弦定理得a?b?c?2bccosA，即21?b?c?bc，联立3b?2c?7，
解得b?5,c?4．
113?AC?ABsinA??5?4??53， 222111S?ABD??AB?ADsin?BAD??4?AD??AD，
2221115S?ACD??AC?ADsin?CAD??5?AD??AD，
22245203． 由S?ABC?S?ABD?S?ACD，得53?AD?AD，∴AD?4918．（1）设日销量为x，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A．则P(x?100)?0.002?50?0.006?50?0.4，P(x?150)?0.005?50?0.25，
（2）S?ABC?2∴P(A)?C4?0.42?0.252?0.06．
（2）日销售量不低于100枝的概率P?0.6，则?~B(4,0.6)，于是kP(??k)?C4?0.6k?0.44?k(k?0,1,2,3,4)，
则分布列为 ? 0 1 2 3 4 169681216216 625625625625625169621621681?1??2??3??4??2.4． ∴E??0?625625625625625P
19．（1）证明：∵BA?BC，E为AC的中点，∴BE?AC，又平面A1ACC1?平面ABC，平面A1ACC1?平面ABC?AC，BE?平面ABC，∴BE?平面A1ACC1，又A1C?平面A1ACC1，∴BE?A1C．
又BC1?A1C，BE?BC1?B，∴A1C?面C1EB．
（2）方法一：由平面A1ACC1?平面ABC，作C1M?AC于M，则C1M?面ABC． 作MN?BC于N，连C1N，则C1N?BC，由cos?C1CN?CMCN，， cos?C1CM?CC1CC1cos?NCM?CN?知cos?C1CN?cos?C1CM?cos?NCM，而?C1CM?60，CM133，即cos?C1CM?． ?cos?C1CM?223在四边形AA1C1C中，设AA1?x． ?NCM?30?，故
则由余弦定理得A1C?x?12?2x?23?223?x2?4x?12． 3