8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 设已知方程f(x)?0的三个近似根，xk,xk?1,xk?2 ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点xk?1作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。 抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2 可用于所想是的实根和复根的求解。 9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。 10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当） 11.判断下列命题是否正确： （1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确） （2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确） （3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误） （4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确） （5）求多项式p(x) 的零点问题一定是病态的问题（错误） （7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误） （8）牛顿法有可能不收敛（正确） （9）不动点迭代法xk?1??(xk)，其中x*??(x*)，若|??(x*)|?1 则对任意处置x0迭代都收敛。（对） （10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
习题
1、用二分法求方程x2?x?1?0的正根，要求误差?0.05。 [解]令f(x)?x2?x?1，则f(0)??1，f(2)?1，所以有根区间为?0,2?； 又因为f(1)??1，所以有根区间为?1,2?； f(1.5)?1.52?1.5?1??0.25，所以有根区间为?1.5,2?； 5?0，所以有根区间为?1.5,1.75?； 161f(1.625)?1.6252?1.625?1??0，所以有根区间为?1.5,1.625?； 64f(1.75)?1.752?1.75?1?f(199931?9?)?(1)2?1?1???0，所以有根区间为?1,1.625?； 161616256?16?19519(1?1)?1?1.59375， 216832191?0.05。 这时它与精确解的距离?(1.625?1)?21632取x*?2. 为求方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式： 21）x?1?1/x2，迭代公式xk?1?1?1/xk； 22）x3?1?x2，迭代公式xk?1?31?xk； 1，迭代公式xk?1?1/xk?1； x?1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 3）x2?[解]1）设?(x)?1?12216???(x)??，则，从而?(1.5)????1，所以233xx271.5迭代方法局部收敛。 ?2223?2）设?(x)?1?x，则?(x)?x(1?x)3，从而 3?216??(1.5)??1.5(1?1.52)3?3?1，所以迭代方法局部收敛。 3169223）设?(x)???112，则??(x)??(x?1)，从而??(1.5)???(0.5)2?2?1，22x?1133所以迭代方法发散。 ?34）设?(x)?x?1，则??(x)?x2(x3?1)2，从而 213319?29??(1.5)??1.5()??1，所以迭代方法发散。 283813. 比较求ex?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间?0,1?内用二分法； 2）用迭代法xk?1?(2?exk)/10，取初值x0?0。 [解]1）使用二分法，令f(x)?ex?10x?2，则 f(0)??1，f(1)?e?8，有根区间为?0,1?； f(0.5)?e0.5?3?0，有根区间为?0,0.5?； f(0.25)?e0.25?0.5?0，有根区间为?0,0.25?； f(0.125)?e0.125?0.75?0，有根区间为?0,0.125?； 113?11?f()?e16???0.5605?0，有根区间为?,?； 168?168?317?13?f()?e32??0.03578?0，有根区间为?,?； 3216?1632?539?53?f()?e64??0，有根区间为?,?； 6432?6432?1173?113?f()?e128??0，有根区间为?,?； 1286412832??23141?233?f()?e256??0，有根区间为?,?； 256128?25632?47277?2347?； f()?e512??0，有根区间为?,?512256256512??93559?2393?； f()?e1024??0，有根区间为?,?1024512?2561024?93472311531从而x*?12393185(?)??0.090332，共二分10次。 2256102420482）使用迭代法xk?12?exk2?e02?e0.1??0.1，x2??0.0894829，则x1?， 1010102?e0.08948292?e0.0906391x3??0.0906391?0.0905126，x4?， 1010即x*?x4?0.0905126，共迭代4次。 4. 给定函数f(x)，设对一切x，f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围0???2/M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x*。 [证明]由xk?1?xk??f(xk)可知，令?(x)?x??f(x)，则??(x)?1??f?(x)，又因为0?m?f?(x)?M，0???格式收敛。 5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到10?5。 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。 6.设?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f2(x) ，试确定函数p(x)和q(x)，使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 7. 用下列方法求f(x)?x3?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x*?1.87938524?，要求计算结果准确到四位有效数字。 2，所以1???(x)??1，即??(x)?1，从而迭代M（1）牛顿法 （2）弦截法，取x0?2,x1?1.9 （3）抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2 [解]1）xk?133f(xk)xk?3xk?12xk?1，x0?2， ?xk??xk??22f?(xk)3xk?33xk?3172()3?12?2?117105559x1???1.888889x???1.87945，迭代停止。 ，22173?2?3956163()2?393xk?1?xk?2）f(xk)(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)3k?xk?x?3xk?1xkxk?1(xk?xk?1)?1(x?x)?kk?13322(xk?3xk?1)?(xk?3x?1)xk?xkxk?1?xk?1k?1?1?31.9?2?(1.9?2)?115.821582???1.881094 228.418411.9?1.9?2?2?3，x0?2，x1?1.9，x2?15821582?1.9?(?1.9)?1841x3?841158221582()??1.9?1.92?3，迭代停止。 8418419558143.42?84121026542442???1.87941154620432115822?1582?1.9?841?0.61?84123）xk?1?xk?f(xk)????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2，其中 ??f[xk,xk?1]?f[xk,xk?1,xk?2](xk?xk?1)，x0?1,x1?3,x2?2，故 f(x0)??3，f(x1)?17，f(x2)?1，f[x0,x1]?f(x1)?f(x0)17?(?3)??10， x1?x03?1f[x2,x1]?f(x2)?f(x1)1?17??16， x2?x12?3f[x1,x2]?f[x0,x1]16?10??6，??16?6(2?3)?10， x2?x02?11?2?110?76?1.9465745，下略。 f[x0,x1,x2]?x3?2?10?10?4?1?62 8. 分别用二分法和牛顿法求x?tanx?0的最小正根。 ?解：0是函数的一个根，0～时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。2?在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于. 2?3?当x接近且大于时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。因此，22?3?最小正根区间为（,）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数22值为4.260>0 按二分法计算，略，x*?4.493424。