实验一 离散时间系统的时域响应及稳定性
1.1实验目的
1）加深对离散线性移不变（LSI）系统时域特性的认识； 2）掌握MATLAB求解离散时间系统响应的基本方法； 3）了解MATLAB中求解系统响应的函数及其应用方法； 4）分析、观察及检验离散时间系统的稳定性。
1.2实验涉及的MATLAB函数
dlsim
功能：求解离散系统的响应。 调用格式：
y＝dlsim(b，a，x)；求输入信号为x时系统的响应。
说明：b和a分别表示系统函数H(z)中，由对应的分子项和分母项系数所构成的数组。
1.3实验原理
1）离散LSI系统时域响应的求解方法
一个线性移不变离散系统可以用线性常系数差分方程表示，也可以用系统函数表示。无论是差分方程还是系统函数，一旦式中的系数bm和ak的数据确定了，则系统的性质也就确定了。因此，在程序编写时，往往只要将系数bm和ak列写成数组，然后调用相应的处理函数，就可以求出系统的响应。
对于离散LSI系统的响应，MATLAB提供了多种求解方法： (1) 用conv子函数进行卷积积分，求任意输入的系统零状态响应。 (2) 用dlsim子函数求任意输入的系统零状态响应。 (3) 用filter和filtic子函数求任意输入的系统完全响应。 本实验重点介绍(2)、(3)两种方法。
2）用dlsim子函数求LSI系统对任意输入的响应
对于离散LSI系统任意输入信号的响应，可以用MATLAB提供的仿真dlsim子函数来求解。 例1： 已知一个IIR数字低通滤波器的系统函数公式为
0.1321+0.3963z?1+0.3963z?2+0.1321z?3
H(z)=
1?0.34319z?1+0.60439z?2?0.20407z?3
输入两个正弦叠加的信号序列：
n1
x=sin()+sin(10n)
23
求该系统的响应。 MATLAB程序如下： nx=0: 8*pi;
x=sin(nx/2)+sin(10*nx)/3; %产生输入信号序列 subplot(3, 1, 1); stem(nx, x);
a=[1, -0.34319, 0.60439, -0.20407]; %输入系统函数的系数 b=[0.1321, 0.3963, 0.3963, 0.1321]; nh=0: 9;
h=impz(b, a, nh); %求系统的单位冲激响应 subplot(3, 1, 2); stem(nh, h); y=dlsim(b, a, x);
%求系统的响应
subplot(3, 1, 3); stem(y);
从程序执行结果可见，输出响应y(n)中，原输入序列中的高频信号部分通过低通滤波器后已被滤除，仅剩下频率较低的sin(n/2)分量。
3）用filtic和filter子函数求LSI系统对任意输入的响应
filtic和filter子函数采用递推法进行系统差分方程的求解，可以用于求解离散LSI系统对任意输入的完全响应。当输入信号为单位冲激信号或单位阶跃信号时，求得的响应即为系统的单位冲激响应或单位阶跃响应。
本实验则使用任意输入序列x(n)，求系统的完全响应。
例2：已知一个LSI系统的差分方程为y(n)＝0.9y(n－1)＋x(n)＋0.9x(n－1)，满足起始状态y(－1)＝0，x(－1)＝0，求系统输入为x(n)＝e解：将上式整理后得到：
y(n)－0.9y(n－1)＝x(n)＋0.9x(n－1) 由上式可列写出其bm和ak系数。 MATLAB程序如下：
－0.05＋j0.4n
u(n－2)时的响应y(n)。
a=[1, -0.9]; %输入差分方程的系数 b=[1, 0.9]; x01=0; y01=0;
%输入起始状态
xi=filtic(b, a, x01, y01); %计算初始条件 N=40; n=0: N-1;
x=(exp((-0.05+j*0.4)*n)).*[n>=2]; %建立输入信号x(n) y=filter(b, a, x, xi);
%求系统的完全响应
subplot(2, 2, 1), stem(n, real(x)); title('输入信号x(n)的实部'); subplot(2, 2, 2), stem(n, imag(x)); title('输入信号x(n)的虚部'); subplot(2, 2, 3), stem(n, real(y)); title('系统响应y(n)的实部'); subplot(2, 2, 4), stem(n, imag(y)); title('系统响应y(n)的虚部');
例3：已知一个系统的差分方程为y(n)－1.5y(n－1)＋0.5y(n－2)＝x(n) n≥0，满足起始状态y(－1)=4, y(－2)=10， 用filtic和filter子函数求系统输入为x(n)=(0.25)nu(n)时的零输入、 零状态以及完全响应。
解：为了更深入地理解filtic和filter子函数的用途，对上述方程进行推导，可得到完全响应的公式为
??1?n1?1?n?2
y(n)=???+???u(n)+u(n)
3???2?3?4???
MATLAB程序如下：
a=[1, -1.5, 0.5]; %输入系统a、b系数 b=[1];
N=20; n=0: N-1;
x=0.25.^n; %建立输入信号x(n) x0=zeros(1, N); %建立零输入信号 y01=[4, 10]; %输入起始状态 xi=filtic(b, a, y01); %计算初始条件
y0=filter(b, a, x0, xi); %求零输入响应
xi0=filtic(b, a, 0); %计算起始状态为零时的初始条件 y1=filter(b, a, x, xi0); %求零状态响应 y=filter(b, a, x, xi); %求系统的完全响应 %用公式求完全响应
y2=((1/3)*(1/4).^n+(1/2).^n+(2/3)).*ones(1, N); subplot(2, 3, 1), stem(n, x); title('输入信号x(n)'); subplot(2, 3, 2), stem(n, y0); title('系统的零输入响应'); subplot(2, 3, 3), stem(n, y1); title('系统的零状态响应'); subplot(2, 2, 3), stem(n, y);
title('用filter求系统的完全响应y(n)'); subplot(2, 2, 4), stem(n, y2);
title('用公式求系统的完全响应y(n)'); 4）分析、观察及检验系统的稳定性
实际中检查系统是否稳定，不可能检查系统对所有有界的输入信号，输出是否都是有界输出，或者检查系统的单位冲激响应满足绝对可和条件。可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统的输出趋近一个常数包括零，就可以断定系统是稳定的。系统的稳态输出是指当n→∞时，系统的输出。如果系统稳定，则信号加入系统后，输出的开始一段称为暂态响应，随着n的加大，幅度趋于稳定，达到稳态输出。
1.4实验内容
1）输入并运行例题程序，理解每一条语句的意义。 2）一个LSI系统的差分方程表示式为
y(n)－0.5y(n－1)＋y(n－6)－0.5y(n－7)＝x(n)－x(n－1)＋x(n－2)
满足起始状态y(－1)＝0，x(－1)＝0，试用dlsim和filter两种方法求此系统的输入序列x(n)为下列信号时的响应：
① x(n)=u(n?3)； ②x(n)=δ(n)?δ(n?5) ③ x(n)=e0.1nu(n?3)； ④x(n)=(0.5)nu(n)
说明：可以在同一段程序中将4个小题的x(n)分别输入，用dlsim和filter两种方法求输出，
同时显示采用不同子函数处理后的输出结果y(n)。
3）一个LSI系统的系统函数表示式为
0.187632+0.241242z?1+0.241242z?2+0.187632z?3
H(z)=
1?0.602012z?1+0.495684z?2?0.0359244z－3
满足起始状态y(－1)＝5，y(－2)＝5，试用filtic和filter子函数求此系统的输入序列x(n)为下列信号时的零输入、零状态以及完全响应：
①x(n)=δ(n?3)； ②x(n)=R5(n) ③x(n)=cos(
2π3πn)+sin(n)； ④x(n)=0.6nu(n) 310
4）给定一谐振器的差分方程为
y(n)=1.8237y(n?1)?0.9801y(n?2)+b0x(n)?b0x(n?1)
设b0=1/100.49，谐振器的谐振频率为0.4 rad。
①用实验方法检查系统是否稳定，输入信号为u(n)时，画出系统的输出波形； ②给定输入信号为
x(n)=sin(0.014n)+sin(0.4n)
求系统的输出响应，并画出波形。
*
5）信号在采集、传输、存贮等过程中容易受到噪声干扰，表示为x(n)=s(n)+d(n)，其中s(n)
为原始信号，d(n)为叠加的高斯噪声（分布在?0.5～0.5范围）。滑动平均滤波器是一种简单有效的去噪系统，可以从接收到的信号x(n)中估计出原始信号，其输入输出关系为：
1
y(n)=
M
M?1??=0
∑x(n???)
即系统n时刻的输出（估计值）y(n)，通过对采集到的M个信号值x(??),n?M+1≤??≤n进行平均得到，M称之为滑动窗口长度。现有一原始信号s(n)=2n(0.9)，试根据滑动平均滤波器原理，编程由x(n)恢复得到y(n)即s(n)。
n
1. 5实验报告
(1) 列写实验任务程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。 (2) 思考题：
MATLAB中提供了哪些求解离散LSI系统时域响应的方法及相关子函数？