专题五 带电粒子在电磁场中的运动
【专题分析】
场是空间中具有某种性质的点的集合。如重力场，对放入的物体有重力的作用；电场对放入的电荷有电场力的作用；磁场对放入的电流和运动电荷有力的作用。
不同的场对运动电荷的作用是不一样的，因此研究带电粒子在复合场中的运动时，一定要熟悉各种场的性质。
1、组合场：几个场拼接在一起，粒子总是在单独的场中运动。
解题时，只需单独处理各个场即可（在电场中的运动模型和在磁场中的运动模型）。 2、复合场：几个场叠加在一起，带电粒子同时受到多种力的作用，同时满足多种规律，其运动也具有一定的特征，如正交的电场和磁场中，直线运动必然匀速，圆周运动必然匀速率。
在解决复合场问题时，要求熟知每种场中的各种规律，各方兼顾来解题。如电场力对带电粒子可以做功，洛仑兹力对带电粒子一定不做功；正交场中匀速圆周运动一定是重力与电场力等大反向；电场中涉及其他形式的能量与电势能之间的转化，在磁场中没有相对应的能量转化。
【题型讲解】
题型一 带电粒子在组合场中的运动
例题1：如图3-5-1所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E．一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O沿y轴负向射出．经过一段时间粒子到达x轴上的A点，A点与点O的距离为L．若不计重力，求
(1)此粒子射出时的速度v
(2)要求粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子的速度多大？在电场中向y轴负向运动的最大距离为多少？
(3)求在问题(2)中粒子运动的总路程和总时间． 解析：（1）题目中带电粒子首先在电场中沿电场线运动，应该做直线减速运动，然后返回垂直进入磁场，所以在磁场中轨迹为一个半圆，之后又沿电场线方向进入电场，之后不断重复上述过程，直至到达A点，如图3-5-2所示。
只有AO距离L为圆周直径的整数倍，粒子才能到达A点。
L=2NR
在磁场中，洛仑兹力提供向心力qvB?qBL2nmqBL2my × × × × × B × × × × × × × × × × A O v E 图3-5-1 y × × × B × × × × × × × × × × × × O E 图3-5-2
x x mvR2
由以上两式可得v? （n=1，2，3?）
(2)粒子在磁场中运动的时间最短，应在磁场中只运行了半个圆周，此时n=1， 所以粒子的速度v?
在电场中的最大位移可由动能定理求得
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?Eqy??12mv
2y?qBL8Em22
（3）在（2）中情况下，粒子的总路程为
S?2y??R=
qBL4Em22??L2
在电场中，进场速度为v，出场速度为-v，由动量定理，电场中的运动时间为 ?Eqt1??mv?mv
再磁场中运动时间为半个周期 t2??m2qB
以上各式可得总时间t?t1?t2?BLE??m2qB
［变式训练］如图3-5-3所示，用绝缘管做成的圆形轨道竖直放置，圆心与坐标原点重合，在1、2象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，在第4象限有
y · · 竖直向下的匀强电场，一个带电量为+q，质量为m的小球B放· · · ·· 在管中的最低点，另一个带电量也是+q，质量也是m的小球A· · · · · B 从图中位置由静止释放开始运动，球A在最低点处与B相碰并粘
在一起向上滑，刚好能通过最高点。不计一切摩擦，电量保持不变，轨道半径为R，R远大于管道的半径，小球直径略小于管道内径，小球可看成质点。求：
（1）电场强度E。
（2）若小球第二次到最高点时，刚好对轨道无压力，求磁感应强度B。
（答案： E?[思考与总结]
题型二 同一空间交替出现电场和磁场
例题2：（04内蒙）空间存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子，在P点以初速度v开始运动，初速方向竖直向下，如图3-5-4所示，该粒子运动到Q点时速度水平方向，已知PQ间的距离为L。若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子初速方向垂直，
图3-5-4
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· · · · A · · x O B 图3-5-3
E 7mgq，B?13mqg14R）
P Q 在此电场作用下粒子也由P运动到Q点。不计重力。求： （1）电场强度的大小
（2）两种情况下粒子由P运动到Q点所经历的时间之差。
解析：粒子在磁场中运动为匀速圆周运动，如图3-5-5所示；在电场中运动为曲线运动，可将运动分解为两个方向：沿电场方向匀加速直线运动，垂直电场方向为匀速直线运动。
在磁场中，qvB?mvR2P
O L?2R Q 图3-5-5
在电场中，由运动的分解
R?vtR?1Eq2mt2
由以上各式可得电场强度E?2vB (2)在电场中运动时间t1?Rv?2L2v
在磁场中运动时间t2?2?R4v?2?L4v
两种情况下粒子由P运动到Q点所经历的时间之差为
?t?t2?t1?(??2)2L4v
［变式训练］如图3-5-6所示，在xoy平面内，MN和x轴y 之间存在平行于y轴的匀强电场和垂直于xoy平面的匀强磁场，M 6L y轴上离坐标原点4L的A点处有一电子枪，可以沿＋x方向射
出速度为v0的电子（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同A v4L 0 时存在，电子将做匀速直线运动。如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场，不计重力的
2L 影响，求
（1）磁感应强度和电场强度E的大小和方向；
（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场，求D点的坐标；
（3）电子通过D点时的动能。 （答案：（1）E?8mv02N o C 2L 4L 图3-5-6
x 25eL，B?8mv025L2
(2)D点坐标（
522L，6L）
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(3)Ek?[思考与总结]
5750mv0）
2
题型三 复合场中的特殊运动形式
例题3：如图3-5-7所示，空间中存在竖直向上的匀强电场E和水平向里的匀强磁场B，四个带电情况相同的小球在正交场中，M静止，N向右水平直线运动，P向左水平直线运动，Q在竖直面内做匀速圆周运动，求：
（1）四个小球的带电种类。
（2）比较四个小球的质量大小关系
· · · B · · · · · · · · · · · E ·M N P Q · · · · ·
图3-5-7
（3）小球Q的圆周绕行方向 解析：（1）由小球M静止可知，其所受电场力与重力等大反向，即电场力受力方向向上，与电场方向一致，所以四个小球带正点。 （2）小球M受力平衡，有
Eq?mMg
小球N向右水平直线运动，由左手定则，可知洛伦兹力竖直向下，有
Eq?mNg?qvB
小球P向右水平直线运动，由左手定则，可知洛伦兹力竖直向上，有
Eq?qvB?mPg
小球Q在竖直面内做匀速圆周运动，所以必有电场力与重力平衡，有
Eq?mQg
由以上各式可得小球的质量关系为
mP?mM?mQ?mN
(3)由于小球带正点，有左手定则可知，小球Q必然顺时针方向转动 ［变式训练］如图3-5-8是一对平行的金属板，分别接到直流电源的两极上，右边有一挡板，正中间开有一小孔。在较大的空间范围内存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，从两板左侧中点初射入一束正离子，这些正离子沿直线运动到右侧，从右侧小孔射出后分成3束，则这些正离子的
A．速度一定都相同
B． 质量一定有3种不同的数值
C． 电量一定有3种不同的数值 D． 比荷一定有3种不同的数值 (答案：AD ) [思考与总结]
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图3-5-8
题型四 复合场中的复杂运动过程研究
例题4：如图3-5-9所示，在空间中存在水平向左、场强为E的匀强电场，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。水平放置的足够长的绝缘杆上套有一带负电的金属环，金属环的质量为m，带电量为q，，金属环与绝缘杆间动摩擦因数为μ，且μmg 解析：如图3-5-10所示，刚释放金属环时，速度为零，环不受洛伦兹力作用，此时支持力与重力相等，由Ff 条件μmg 当金属环速度增加后，将受到方向向下的洛伦兹力作用。 随着速度的增加，洛伦兹力随之增大，支持力 FN?mg?qvB也增大，进而摩擦力Ff??FN增大，金属环的加速度a?× × × E × × m × × × × q × × × × × × B × 图3-5-9 FN FN Eq Ff qvB 图3-5-10 Eq?FfmEq mg mg 将减 小，所以金属环在开始阶段做的时加速度逐渐减小的加速运动。 当金属环加速到摩擦力与电场力相等时，合力和加速度都为零，将不再加速，变为匀速运动，此时有 Eq??(mg?qvB) Eq??mg金属环的最终速度为v??qB 所以金属环的加速度先逐渐减小，减到零后保持不变，速度逐渐增大，最后匀速运动。 ［变式训练］如图3-5-11所示，在空间中存在水平向左、场强为E的匀强电场，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应× E × × × m q 强度为B。竖直放置的足够长的绝缘杆上套有一带正电的金属环，金属环的质量为m，带电量为+q，金属环与绝缘杆间动摩擦因数为μ，且μEq 运动过程中的最大速度和最大加速度。 （答案： a = g，v? [思考与总结] 题型五 电磁场问题与动量、能量相综合 专题五 带电粒子在电磁场中的运动 共 11 页，第 5 页 × × × B × × × × × 图3-5-11 mg?qB?EB ）