数学建模培训讲义
——优化模型与LINGO软件
二○一一年七
目 录
1 静态优化模型 ............................................................................................1
1.1 最优生产计划问题 ...................................................................................................... 1 1.2 存贮模型 ...................................................................................................................... 2
2 线性规划模型 ............................................................................................2
2.1 LINGO简介 ................................................................................................................. 2 2.2 配料问题 ...................................................................................................................... 3 2.3 练习：运输问题 .......................................................................................................... 4
3 整数规划模型 ............................................................................................4
3.1 电影院广告问题 .......................................................................................................... 4 3.2 练习：生产计划问题 .................................................................................................. 5
4 0-1规划 ......................................................................................................5
4.1 背包问题 ...................................................................................................................... 5 4.2 矿井选址问题 .............................................................................................................. 6 4.3 练习：混合泳接力队的选拔问题 .............................................................................. 7
5 LINGO应用 ...............................................................................................8
5.1 变量定界函数 .............................................................................................................. 8 5.2 集合 .............................................................................................................................. 8 5.3 帆船生产问题 .............................................................................................................. 9
5.4 派生集合 .....................................................................................................................11 5.5 通过电子表格（Excel）文件传递数据................................................................... 12 5.6 旅游问题 .................................................................................................................... 13
优化模型与LINGO软件
优化问题是计划管理工作中经常要碰到的问题，比如，出门旅行就要考虑选择什么样的路线和交通工具，才能使旅行费用最省或使所花费的时间最少。在工厂技术、经济管理和科学研究等领域中，最优化问题就更多，一个工厂要怎样安排产品的生产，才能获得最大利润？一个设计部门要考虑在满足结构强度的要求下怎样使得所用的材料的总重量最轻？
比较有效的求解优化问题的一个方法使数学规划，它包括：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划和多目标规划等等。
用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、函数等）表示它们。
1 静态优化模型
静态优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。 1.1 最优生产计划问题
一计算机公司引进A、B两种类型的芯片技术，总耗资400000元，准备生产这两种类型的芯片出售。生产一片A芯片的成本为1950元，而市场售价为3390元，生产一片B芯片的成本为2250元，而市场售价3990元。由于市场存在竞争，每售出一片A芯片，A芯片就会降价0.1元，并且令B芯片降低0.04元，每售出一片B芯片，B芯片就会降价0.1元，并且令A芯片降价0.03元。假设生产的芯片都能卖出，求一生产计划，以获得最大利润。 模型分析：
假设A、B两种芯片的数量分别是x1和x2，市场价格分别是p1和p2，用R表示出售芯片的总收入，用C表示生存芯片的总费用，用P表示总利润。
根据题意，上述变量有如下关系：
p1?3390?0.1x1?0.03x2 p2?3990?0.04x1?0.1x2
R?p1x1?p2x2
C?400000?1950x1?2250x2 P?R?C
模型建立：
根据上述分析，可得优化模型
1
maxP?1440x1?0.1x1?1740x2?0.1x2?0.07x1x2?40000022
s.t x1,x2?0且为整数
模型求解：
用微分法求解
??P??x?1440?0.2x1?0.07x2?1 ??P??1740?0.07x1?0.2x2???x2最优解是
x1?4735，x2?7043
此时
maxP?9136410
1.2 存贮模型
详见“静态优化模型”PDF文档。
2 线性规划模型
如果约束条件和目标函数都是线性的，称之为线性规划模型。 例如： maxf?2x1?5x2
?x1?4??x2?3 s.t?
x?2x?82?1?x,x?0?12解法一：两个变量的线性规划模型的图解法 解法二：消元法（迭代法） 解法三：单纯形法（迭代法演化） 解法四：LINGO软件求解
max=2*x1+5*x2; x1<=4; x2<=3; x1+2*x2<=8; 2.1 LINGO简介
LINGO是英文“Linear Interactive And General Optimizer”字首的缩写形式，即“交互式线性和通用优化求解器”，其语法特点是：
2
（1）语句的顺序不重要，因为LINGO总是根据“max?”或“min?”语句寻找目标函数，而其他语句都是约束条件，也可以没有约束条件。
（2）LINGO不区分大小写，但变量必须以字母开头。 （3）LINGO默认所有变量非负。
（4）LINGO模型是由一系列语句组成，每个语句都是以“;”结尾，编写程序时应注意保持模型的可读性，同时保持语法的严谨性。
（5）LINGO中以感叹号“!”开始的是说明语句（说明语句也必须以“:”结束）。 LINGO软件的具体用法在模型中介绍。
表1 各版本信息
版本类型 演示版 求解包 高级版 超级版 工业版 扩展板 2.2 配料问题
总变量数 300 500 2000 8000 32000 无限 整数变量数 30 50 200 800 3200 无限 非线性变量数 30 50 200 800 3200 无限 约束数 150 250 1000 4000 16000 无限 某养鸡场饲养一批小鸡，对小鸡健康成长的基本营养元素有三种，简单地称为A、B、C。这批小鸡每日对这三种营养的最低需要量是：元素A为12单位，元素B为36单位，元素C为恰好为24单位，C元素不够或过量都是有害的。
现市场供应的饲料有甲、乙两种，甲饲料每千克5元，所含的营养元素A为2单位，B为2单位，C为2单位；乙饲料每千克4元，所含的营养元素A为1单位，B为9单位，C为3单位。
养鸡场负责人希望得到甲乙两种饲料的混合饲料最优配比，既能满足小鸡健康成长的需要，又能降低饲料的费用。 模型建立：
假设甲饲料每天需求x1千克，乙饲料每天需求x2千克，每天饲料总费用为f。
minf?5x1?4x2
?2x1?x2?12??2x1?9x2?36s.t?
2x?3x?242?1?x,x?0?12LINGO程序：
min=5*x1+4*x2;
3