|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?故截断误差
1|x(x?0.5)(x?1)|3!。
10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：
L2(x)?2?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)
?234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323 1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724
11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表： 100 121 144 1 0 1 1 0.0476190 1 2 0.0434783 -0.0000941136 115?10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
3?f'''?x??x28
5R?f'''????115?100??115?121??115?144?3!5?13?1002?15?6?29?0.0016368
12、(10分)已知下列函数表： x 0 1 f(x) 2 3 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）
L3(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)?
438x?2x2?x?133
11
0113229624（2）均差表：327 18 6 3
Nx)?1?2x?2x(x?1)?43(3x(x?1)(x?2)
f(1.5)?N3(1.5)?5
13、 已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式 及f（2.5）
解：
14、设
（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项 的表达式
解 （1）
（2）
第四章 数值积分
使满足12
一、填空题 1、求
?21x2dx，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为
2.333 。
2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。
3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。
4.插值型求积公式5、 计算积分?0.51?Af?x???f?x?的求积系数之和 b-a 。
kkk?0anb,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛
卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
xdx?15f(x)dx≈( 12 )。
7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( 2.5 )。
?8、若用复化梯形公式计算
个求积节点。
110exdx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用 477
?62f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??199、数值积分公式的代数精度为 2 。
10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?13f(x)dx?_________答案：2.367，0.25
,用三点式求得f?(1)? 。
10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有
11、
对于n+1个节点的插值求积公式
至少具有n次代数精度.
二、单项选择题：
1、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。
(A)
f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1n(D)f(x1)?f(x0)x1?x0
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
?baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0(n)Ci中，当系数是负值时，公
13
式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（A）n?8， （B）n?7， （C）n?10， （D）n?6， 三、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令
代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）
14
（3） 解：令
代入公式精确成立，得
解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
2.求积公式
?10f(x)d?x0A(0?f)1'A?(f10)B已f(知0)其余项表达式为，
R(f)?kf'''(?),??(0,1)，试确定系数A0,A1,B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出
代数精度的次数及求积公式余项。
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