? (r∧￢p)∨p ∨￢r 吸收律 ? (r∧￢p)∨￢（￢p ∨r） 德摩根律 ?1
即(p?r) ∧￢p?￢r 故推理正确 2.构造证明法 前提: (p?r), ￢p 结论: ￢r 证明:
① p?r 前提引入 ② (p→r) ∧ (r→p) ①置换 ③ r→p ②化简律 ④￢p 前提引入 ⑤￢r ③④拒取式 所以, 推理正确.
第7次作业（P53-54）
3.15 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q 结论: s→r
(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u (1)证明:
① s 附加前提引入 ②s→p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④p→(q→r) 前提引入 ⑤q→r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
(2)证明: ① P 附加前提引入 ②p∨q ①附加 ③(p∨q) →(r∧s) 前提引入 ④r∧s ②③假言推理 ⑤ S ④化简 ⑥s∨t ⑤附加 ⑦(s∨t) →u 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理
3.16 在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理: (1)前提: p→￢q, ￢r∨q, r∧￢s 结论: ￢p
(2)前提: p∨q, p→r, q→s
结论: r∨s (1)证明: ① P 结论否定引入 ②p→￢q 前提引入 ③￢q ①②假言推理 ④￢r∨q 前提引入 ⑤￢r ③④析取三段论 ⑥r∧￢s 前提引入 ⑦ r ⑥化简规则 ⑧￢r∧r ⑤⑦合取引入规则 ⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确. (2)证明: ①￢(r∨s) 结论否定引入 ②p∨q 前提引入 ③p→r 前提引入 ④q→s 前提引入
⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则 ⑥r∨s ⑤构造性二难 ⑦(r∨s) ∧￢(r∨s) ④⑤合取引入规则 ⑦为矛盾式, 所以推理正确.
第8次作业（P65-66） 4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1)火车都比轮船快. (2)有的火车比有的汽车快. (3)不存在比所有火车都快的汽车. (4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.
解：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域 (1) ?x?y(F(x) ∧G(y) ?H(x,y))
其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快. (2) ?x?y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))
其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快. (3) ￢?x(F(x) ∧?y(G(y) ?H(x,y)))
或
?x(F(x) ??y(G(y) ∧￢H(x,y)))
其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.
(4) ￢?x?y(F(x) ∧ G(y) ?H(x,y))
或
?x?y(F(x) ∧G(y) ∧￢H(x,y) )
其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢. 4.9 给定解释 I 如下: (a)个体域为实数集合R. (b)特定元素a =0. (c)特定函数
??f(x,y)=x?y, x,y∈R.
?(d)谓词F(x,y): x=y,G(x,y): x ?x?y(G(x,y) ?￢F(x,y)) ?x?y(F(f(x,y),a) ?G(x,y)) ?x?y(G(x,y) ?￢F(f(x,y),a)) ?x?y(G(f(x,y),a) ?F(x,y)) 解： (1) ?x?y(x 第9次作业（P79-80） 5.5 给定解释I如下: (a) 个体域D={3,4}； (b) f(x)：f(3)=4, f(4)=3； (c)F(x,y)：F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1. 试求下列公式在I下的真值: (1) ?x?yF(x,y) (2) ?x?yF(x,y) (3) ?x?y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) ???????? 解： (1) ?x?yF(x,y) ? (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4)) ? (0∨1)∧(1∨0) ? 1 (2) ?x?yF(x,y) ? (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4)) ? (0∧1)∨(1∧0) ? 0 (3) ?x?y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) ? (F(3,3)→F(f(3),f(3))) ∧(F(4,3)→F(f(4),f(3))) ∧(F(3,4)→F(f(3),f(4))) ∧(F(4,4)→F(f(4),f(4))) ? (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ?1 5.12 求下列各式的前束范式. (1)?xF(x)→?yG(x, y) (3)?xF(x, y) ??xG(x, y) (5) ?x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢?x2G(x1, x2)). 解： 前束范式不是唯一的. (1) ?xF(x)→?yG(x, y) ? ?x (F(x)→?yG(t, y)) ? ?x?y(F(x)→G(t, y)). (3) ?xF(x, y) ??xG(x, y) ? (?xF(x, y)→?xG(x, y))∧(?xG(x, y)→?xF(x, y)) ? (?xF(x, y)→?uG(u, y))∧(?xG(x, y)→?vF(v, y)) ??x?u(F(x, y)→G(u, y))∧?x?v(G(x, y)→F(v, y)) ??x?u(F(x, y)→G(u, y))∧?w?v(G(w, y)→F(v, y)) ??x?u?w?v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y))) (5)?x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢?x2G(x1, x2)) ??x1F(x1, x2)→(F(x1)→?x2￢G(x1, x2)) ??x1F(x1, x2)→?x2(F(x1)→￢G(x1, x2)) ??x1F(x1, x3)→?x2(F(x4)→￢G(x4, x2)) ??x1(F(x1, x3)→?x2(F(x4)→￢G(x4, x2))) ??x1?x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→￢G(x4, x2))) 第10次作业（P79-80） 5.15 在自然推理系统FL中,构造下面推理的证明: (1) 前提: ?xF(x) →?y((F(y)∨G(y))→R(y)),?xF(x) 结论:?xR(x). (2) 前提:?x(F(x)→(G(a)∧R(x))),?xF(x) 结论:?x(F(x)∧R(x)) (3) 前提:?x(F(x)∨G(x)), ￢?xG(x) 结论:?xF(x) (4) 前提:?x(F(x)∨G(x)),?x(￢G(x)∨￢R(x)),?xR(x) 结论: ?xF(x) (1)证明: ① ?xF(x) →?y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入 ② ?xF(x) 前提引入 ③ ?y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理 ④ (F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则 ⑤ F(c) ⑥ F(c) ∨ G(c) ⑦ R(c) ⑧ ?xR(x) (2) 证明: ① ?xF(x) ② F(c) ③ ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) ④ F(c)→(G(a)∧R(c)) ⑤ G(a)∧R(c) ⑥ R(c) ⑦ F(c)∧R(c) ⑧ ?x(F(x)∧R(x)) (3) 证明: ① ￢?xG(x) ② ?x￢G(x) ③ ￢G(c) ④ ?x(F(x)∨G(x)) ⑤ F(c)∨G(c) ⑥ F(c) ⑦ ?xF(x) (4) 证明: ① ?x(F(x)∨G(x)) ② F(y)∨G(y) ③?x(￢G(x)∨￢R(x)) ④ ￢G(y) ∨￢R(y) ⑤ ?xR(x) ⑥ R(y) ⑦ ￢G(y) ⑧ F(y) ⑥ ?xF(x) ①存在量词消去规则 ⑤附加 ④⑥假言推理 ⑦存在量词引入规则 前提引入 ①存在量词消去规则 前提引入 ④全称量词消去规则 ②④假言推理 ⑤化简 ②⑥合取引入 ⑦存在量词引入规则 前提引入 ①置换 ②全称量词消去规则 前提引入 ④全称量词消去规则 ③⑤析取三段论 ⑥存在量词引入规则 前提引入 ①全称量词消去规则 前提引入 ③全称量词消去规则 前提引入 ⑤全称量词消去规则 ④⑥析取三段论 ②⑦析取三段论 ⑧存在量词引入规则 第11次作业（P96）