2018届高考数学解答题编拟（理科）（番禺区大岗中学 李奎光）
题目1. 已知函数f(x)?2cos?x?2sin?xcos?x?1（x?R,??0）的最小值正周期是
?22．
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 解：（Ⅰ）
f?x??2?1?cos2?x2?sin2?x?1?sin2?x?cos2?x?2???? ?2?sin2?xcos?cos2?xsin??244?????2sin?2?x???24???由题设，函数f?x?的最小正周期是
?2，可得
2?2???2，所以??2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?x?????2sin?4x???2．
4??当4x??4??2?2k?，即x??16?k?2?k????Z?时，sin?4x??取得最大值1，所以函数
4??f?x?的最大值是2??k????,k?Z? 2，此时x的集合为?x|x?162??命题意图：本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
y?Asin(?x??)的性质等基础知识，考查基本运算能力．
?题目2. 在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，3)，(0，3)的距离之和等于4，设
点P的轨迹为C，直线y?kx?1与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若OA?OB，求k的值；
?解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，3)，(0，3)为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?2?(3)22?1，
故曲线C的方程为x?2y24?1．
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
?2y?1，?x? 4??y?kx?1.?2消去y并整理得(k?4)x?2kx?3?0， 故x1?x2??2kk222?4，x1x2??3k2．
?4若OA?OB，即x1x2?y1y2?0．
2而y1y2?kx1x2?k(x1?x2)?1，
于是x1x2?y1y2??23k2?4?3kk22?4?2kk22?4?1?0，
化简得?4k?1?0，所以k??12．
命题意图：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
题目3. 在数列{an}中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1（n?2,q?0）．
*（Ⅰ）设bn?an?1?an（n?N），证明{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅰ）证明：由题设an?1?(1?q)an?qan?1（n?2），得
an?1?an?q(an?an?1)，即bn?qbn?1，n?2．
又b1?a2?a1?1，q?0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）
a2?a1?1， a3?a2?q， ……
2 an?an?1?q，（n?2）．
将以上各式相加，得an?a1?1?q??1?q?1???1?q??n,n?1?qn?2（n?2）．
所以当n?2时，an,q?1,q?1.
上式对n?1显然成立．
命题意图：本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力．
题目4. 已知26列货车以相同速度 v 由 A 地驶向400千米处的 B 地，每两列货车间距离为 d 千米，现知 d 与速度 v 的平方成正比，且当 v＝20（千米/时）时，d＝1（千米）．
（1）写出d关于v的函数关系式；
（2）若不计货车的长度，则26列货车都到达 B 地最少需要多少小时？此时货车速度为多少？
解：（1）由题意可设d＝kv2，其中k为比例系数，k＞0．
∵当v＝20时，d＝1，∴1＝k·202，即k＝（2）∵ 每两列货车间距离是d（千米）， ∴ 最后一列货车出发时已等待的时间为 于是全部货车到达B地的时间为 t?由（1）可知d＝
400vv161400． ∴d＝
1400 v2（v＞0）．
25dv（小时），
25dv400v?．
1400 v2，代入上式整理得
400vv16400vv16 t??，（v＞0）．惯于 t?v16??2??2?5?10．
当且仅当
400v?，即v＝80（千米/时）时，等号成立．
∴26列货车都到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米/时．
命题意图：本题考查学生的建模能力，考查基本不等式的知识的应用，及基本的计算能力。本题的取材背景很公平，每个人都接触到这样的运输问题，实际中也是这样，比如100辆运输车辆若起程，不可能同时出发，最后一辆车，要等待多久？每两辆车之间要保持多大的车距？这是读者要弄清的问题．另外，整批货物运到目的地，需要从第一辆车出发开始记时，到最后一辆车到达为止．
题目5.
如图底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,?ABC?60?,PA?AC?a,PB?PD?在PD上,且PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
(Ⅰ)证明： 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60o, 所以AB=AD=AC=a.在△PAB中,由PA22a,点E
?AB2?2a2?PB2知PA⊥AB.
同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD 知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC. ∠EHG为二面角θ的平面角. 又PE:ED=2:1 所以EG?13a,AG?23a,GH?AGsin60??33a,
从而tan??EGGH?33,??30?.
(Ⅲ)当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下. 取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ① 由EM?12PE?ED,知E是MD的中点.
连接BM、BD,设BD?AC=O，则O为BD的中点。 所以BM∥OE。 ②
由①、②知,平面BFM∥平面AEC.
命题意图：本小题主要考查直线和平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和探索、推理论证能力．
题目6. 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是乙、丙三人都能通过测试的概率是
32025340，甲、，且
，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是
乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （Ⅱ）求测试结束后通过的人数?的数学期望E?.
解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
3?2xy?,??520 ?33?(1?x)(1?y)?,?40?5
3?x?,??4即?
1?y?.?2? 或
1?x?,??2（舍去）┅┅┅┅┅┅┅4?3?y?.?4?分
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是（Ⅱ）因为P(??0)?P(??1)?25(1?3403434、
12. ┅┅┅┅┅┅┅6分
P(??3)?12)?(1?320)(1?2312317 )(1?)?(1?)(1?)?54254220P(??2)?1?(P0?P1?P3)?17401740
?3?320?3320所以E?=0?340?1?720?2? ┅┅┅┅┅┅┅12分
命题意图：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考
查运用概率知识解决实际问题的能力．
题目7. 已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，a?b? （Ⅰ）求cos(???)的值；
（Ⅱ）若0???解（Ⅰ）
?2255．
，??2???0，且sin???513，求sin?的值．
a??cos?，sin??，b??cos?，sin??,
?a?b??cos??cos?，sin??sin??.
255255a?b?, ??cos?45?cos??2??sin??sin??2?,
s????即 2?2co??. ?cos??????35.
（Ⅱ）
0???cos????sin????2,??35?2???0,?0??????.
45.
?5，?sin??????1213.
13，?cos??
?sin??si?n??????co?s?????c?s?o??sin???????
s?in?4123?5?33??????. ?5135?13?65命题意图：本题考查三角函数知识，平面向量基础知识的综合运用，以及计算能力。