2 刚体定轴转动
转动惯量
1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关． 答案：（C） 参考解答：
首先明确转动惯量的物理意义，从转动定律与牛顿第二定律的对称关系可以看出，与质量m是平动惯性大小的量度相对应，转动惯量I则是刚体转动惯性大小的量度。从转动惯量的的公式I???miri2可以看出，其大小除了与刚体的形状、
i?1n大小和质量分布有关外，还与转轴的位置有关。
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1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答：
不能．
因为刚体的转动惯量?ri2?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀
1质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为mR2，若按质量全部集中于质心
2计算，则对同一轴的转动惯量为零．
2. 一刚体由匀质细杆和匀质球体两部分构成，杆在球体直径的延长线上，如图所示．球体的半径为R，杆长为2R，杆和球体的质量均为m．若杆对通过其中点O1，与杆垂直的轴的转动惯量为J1，球体对通过球心O2的转动惯量为J2，则整个刚体对通过杆与球体的固结点O且与杆
O1O垂直的轴的转动惯量为 (A) J＝J1＋J2． (B) J＝mR2＋mR2．
(C) J＝(J1＋mR2)＋(J2＋mR2)．
(D) J＝[J1＋m(2R)2]＋[J2＋m(2R)2]． 答案：(C) 参考解答：
O2 1
根据转动惯量具有叠加性，则整个刚体对通过杆与球体的固结点0且与杆垂直的轴的转动惯量为细杆和球体分别对该轴转动惯量之合。在某些转轴不通过质心的情况下,为便于计算转动惯量,可借助平行轴定理：I?Ic?md2（Ic表示刚体对通过其质心C的轴线的转动惯量，另一个轴与通过质心的轴平行并且它们之间相距为d），所以答案(C)正确。
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平行轴定理
同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，它们之间无一个简单的一般关系，但若两根轴彼此平行，且其中一根通过刚体的质心，则刚体分别对这两根轴的转动惯量之间有一简单关系。设m表示刚体的质量，Ic表示刚体对通过其质心C的轴线的转动惯量，另一个轴与通过质心的轴平行并且它们之间相距为d，则此刚体对该轴的转动惯量为：
I?Ic?md2
这一关系叫做平行轴定理。
力矩、转动定律
1. 几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体
(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 答案：(D) 参考解答：
根据转动定律：M?Id?，刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体dt对同一转轴的转动惯量与刚体所获得的角加速度的乘积。在应用转动定律时应注意M是合外力矩，是外力力矩的矢量和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。
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1.1一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。
参考解答：
一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩并不是一定为零。
2
如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。
2. 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J，绳下端挂一物体．物体所受重力为P，滑轮的角加速度为?．若将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度?将
(A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D) 如何变化无法判断． 答案：（C）
参考解答：
对绳下端挂一物体，对物体用牛顿定律列方程：
mg?T?ma
对滑轮，根据转动定律M?J?列方程有： TR?(mg?ma)R?J?1,
(mg?ma)R. 得： ?1?J将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，
mgR. 根据转动定律列方程则有：mgR?J?2,?2?J显然有?2??1。
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2.1 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1＜m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若 O 某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 右边大于左边．
答案：（B） 参考解答：
绳与轮之间无相对滑动，两物体运动加速度相同。 如m1和m2两物体(m1＜m2)受力隔离图所示，有：
m1g?T1?m1a, T1?m1g?m1a. T2?m2g?m2a, T2?m2g?m2a.
?T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a?0， ?T2?T1.
3
m1 m2
3. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直OA位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小． (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． 答案：(A) 参考解答：
转动定律M?I?所阐述是力矩与角加速度之间具有一一对应的瞬时作用关系。
棒从水平位置由静止开始自由下落摆动到竖直位置的过程中，受重力矩作用，如图所示，当棒摆动到与水平位置
mglcos?成?角时，对转轴的重力矩M? (l为棒长)，
2棒水平位置时，对给定轴的力矩 (M?mgl) 最大，角加速度也最大，棒摆动2到竖直位置时，对给定轴的力矩 (M?0) 最小，角加速度也最小。
凡选择(C)、(D)回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
3.1 如图所示，一匀质细杆AB，长为l，质量为m．A端挂在一光滑的固定水平轴上，细杆可以在竖直平面内自由摆动．杆从水平位置由静止释放开始下摆，当下摆?角时，杆的
(A) 角速度从大到小. (B) 角速度从小到大． 答案：(B) 参考解答：
由机械能守恒定律： mgsin??I?2,
l1221l11I?ml2代入上式， mgsi?n??ml2?2, 32233gsin?3gsin?, ?2?,??llAB?B
显然有：细杆可以在竖直平面内自由摆动．杆从水平位置由静止释放开始下摆，
当下摆?角时，杆的角速度从小到大。
选择(B)回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
转动定律M?I?所阐述是力矩与角加速度之间具有一一对应的瞬时作用关系。
棒水平位置时，对给定轴的力矩(M?mgl)最大，角加速2度也最大，棒摆动到竖直位置时，对给定轴的力矩(M?0)
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最小，角加速度也最小。
刚体角动量、角动量守恒定律
1. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是
(A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零． (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
答案：(B)
参考解答：
??dL刚体的角动量定理（微分形式）：M?
dt刚体所受的对某给定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率。
??dL?0. 刚体的角动量守恒定律：如果合外力矩M?0，则 dt即当刚体所受的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持不变。
凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：
定轴转动刚体的角动量定理的内容是：
定轴转动刚体所受外力对轴的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量的增量．
t刚体的角动量定理（积分形式）：?t12Mdt?I??(I?)0，
??dL刚体的角动量定理（微分形式）：M?
dt角动量守恒的条件是：刚体所受对轴的合外力矩等于零．
2. 光滑的水平桌面上有长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点O且垂
1直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为ml2，起初杆
3静止．有一质量为m的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂vO直于杆长的方向上，以速率v运动，如图所示．当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动．则这一系统碰撞后的转动角速度是
3v3vv12v (A) 2． (B) ． (C) ． (D) ．
4l4l13l2l答案：(C) 参考解答：
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将细杆和小球作为系统，由于碰撞过程中冲力远大于小球的重力（该问题中仅小球的重力产生外力矩），故可认为角动量守恒。
碰撞前系统角动量：mvl，碰撞后瞬间系统角动量：(13ml2?ml2)?， 根据角动量守恒定律有：mvl?(1ml2?ml2)?，??3v34l.
凡选择(A)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析：
错误的角动量守恒定律：mv?(13ml2?ml2)?，解出??3v4l2. 正确的角动量守恒定律：mvl?(13ml2?ml2)?
凡选择(B)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析：
转动惯量错误的写成：
112ml2, 角动量守恒定律：mvl?(1ml2?ml212v12)?，解出??13l.
正确的转动惯量：13ml2.
凡选择(D)回答错误的，给出下面的进一步讨论：
你的错误分析：
错误的动量守恒定律：mv?(m?m)v?，且v??l?. 解出??v2l. 应该是角动量守恒定律：mvl?(112ml2?ml2)?， 6