黄金分割法
东南大学机械学院**
一 黄金分割法基本思路
黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单谷函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
二 黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点xmin的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。
① 如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)； ② 如果f(a1) 如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。 因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。 插入点原理图如下： 三 实验程序框图 四 程序运行结果 例如：f=x^2+2*x,给定搜索区间[-3,5],求此函数的极小点。 1. 首先运行主程序： 2.会提示你输入各个变量的值： 2. 输完各个变量的值，以及所求函数后，再运行 ：xmin=golden(f,a,b,e) 系统调用m文件的内容，这时候matlab就会输出函数的最优值。 即该函数的最小值点在x=-1，最小点的函数值fmin=-1，一共经过了29次迭代。 五 实验心得 通过此次实验，加深了对黄金分割法的基本理论和算法框图及步 骤的全面理解，掌握了matlab的使用方法。此方法适用于一维函数求最小值的问题。原理比较简单，稍微复杂一点的就是缩小区间的时候怎么进行换名，另外一个难点就是如何用matlab来实现，此次实验通过自学matlab的基本操作以及matlab编程语言，最后完成了此次实验。 附录 matlab程序代码 主程序： syms x a b e; %定义变量 a=input('搜索区间的第一点\\a='); %确定搜索区间 b=input('搜索区间的第二点\\b='); e=input('搜索精度\\ne='); %收敛精度 disp('需求的优化函数f=f(x)，调用xmin=golden(f,a,b,e)'); m文件： function xmin=golden(f,a,b,e) k=0; a1 =b-0.618*(b-a); %插入点的值 a2 =a+0.618*(b-a); while b-a>e %循环条件 y1=subs(f,a1); y2=subs(f,a2); if y1>y2 %比较插入点的函数值的大小 a=a1; %进行换名 a1=a2; y1=y2; a2=a+0.618*(b-a); else b=a2; a2=a1; y2=y1; a1=b-0.618*(b-a); end k=k+1; end %迭代到满足条件为止就停止迭代 xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin) %输出函数的最优值 fprintf('k=\\n'); %输出迭代次数 disp(k);