§2.4 函数的值域与最值 陕西 刘大鸣 史亚鹏
【知识梳理】
1． 求函数值域的常用方法：
(1)直接法—— 从自变量x的范围出发，通过○1 推出y＝f(x)的取值范围；
(2)配方法—— 配方法是求○2 型函数值域的基本方法，形如○3 的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)反函数法—— 利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的○4 ，得到原函数的○5 ．形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数的
值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法—— 把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过○6 ，从而求得原函数的a1x2
值域．形如y＝＋bax21x＋c1＋bx＋c(a，a不同时为零)的
22212函数的值域常用此法求解．
前提条件：函数的定义域应为○7 ；分子、分母○
8 ． (5)换元法——运用○9 ，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解．
(6)不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2ab(a、b∈R＋
)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件○10
(7)单调性法—— 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的○11 求出函数的值域．
(8)求导法—— 当一个函数表达式确定且在定义域上○12 时，可根据其导数求最值确定值域； (9)数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的○
13 ，借助于几何方法求出函数的值域． 2．函数的最值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:
对于任意x∈I，都有○14 ；且存在x0∈I，使得○15 .则称 M为最大值.
对于任意x∈I，都有○16 ；且存在x0∈I，使得○17 . 则称M为最小值. 答案：
1． ○1观察和代数运算 ○2二次 ○
3F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c ○4定义域 ○5值域 ○
6方程有实根，判别式Δ≥0 ○7 R ○8没有
公因式 ○9代数或三角代换 ○10 一正、二定、三相等 ○11单调性 ○12可导 ○13几何意义 2．○14 f(x)≤M ○15 f(x0)＝M ○16 f(x)≥M ○17 f(x0)＝M
【课前自测】 一. 选择题
1. (13宝鸡模拟)函数f(x)?1x2?1 的值域是( ) A．(0,1) B．(0,1］ C．［0,1］ D．［0,1) 答案：B
提示：函数f(x)的定义域为R,∴x2+1≥1, 则
1
0?1x2?1?1.即函数f(x)的值域为(0,1］. 2.函数y＝16－4x的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案：C
提示：由已知得0≤16－4x＜16,0≤16－4x＜16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)．
3.（13重庆）y??3?a??a?6???6?a?3?的
最大值为( ) A.9 B.
92 C.3 D.322
答案：B
提示：因为
?3－a??a＋6?＝
18－3a－a2＝
－??a＋32??2＋814，所以当a＝－32时，?3－a??a＋6?的值最大，最大值为92
. 4． (13四川) 已知函数f(x)＝4x＋ax
(x>0，a>0)在x
＝3时取得最小值，则a＝________. 答案36;
提示：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋a
≥2
4x·ax
x
＝4a，当且仅当4x＝ax(x>0)即x＝a
2时f(x)取得最小值，由
题意得
a
2
＝3，∴a＝36. 5． (13合肥模拟)对a，b∈R，记
maxa{b?,??a,a? b函数f(x)=max{|x+1|,-x2?}b,a?b+1}的最小值是______. 答案：0
提示：由题意知函数f(x)
是两个函数y1=|x+1|,
y2=-x2+1中的较大者,作出
两个函数在同一直角坐标系中的图像,则f(x)的图像是图中的实线部分,由图像易知f(x)min=0.
【课标示例】
例1 函数的最值与应用
(13、安徽)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．[来源学*科*网Z*X*X*K]
解析：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实
根x0，xa
1＝2＝1＋a2，
故f(x)>0的解集为{x|x1 因此区间I＝[0，aa 1＋a2]，区间长度为1＋a2. 设d(a)＝1＋a2，则d′(a)＝1－a2(2) a（1＋a2）2， 令d′(a)＝0，得a＝1，由于0 当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增； 当1 d（1－k） 1－k 1＋（1－k）2 2－k2－k3 d（1＋k） ＝ 1＋k＝2－k2＋k3<1，1＋（1＋k）2故d(1－k) 因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值1－k 2－2k＋k2. 【举一反三】1 (13昆明模拟) 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a x， x∈[1，＋∞)． (1) 当a＝1 2 时，求函数f(x)的最小值； (2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 答案：（1） 7 2 ； （2） a>－3. 提示：(1) 当a＝12时，f(x)＝x＋1 2x ＋2，在[1，＋∞) 2 上为增函数，f(x)7 min＝f(1)＝2 . (2) 当x∈[1，＋∞)时，由f(x)＝x2＋2x＋a x>0恒成 立，得x2＋2x＋a>0，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．因为当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，所以a>－3. ∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．∴a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1. 当x＝1时，u取得最大值－3，∴a>－3. 例2 简单函数的值域 求下列函数的最值与值域． (1) y＝4－3＋2x－x2 ； (2) y＝x＋4x； (3) y?x2?xx2?x?1 解析：(1) 由3＋2x－x2 ≥0得函数定义域为 [－1,3]， 又t＝3＋2x－x2 ＝4－(x－1)2 ，∴t∈[0,4], t∈[0,2]，从而ymin＝2(当x＝1时)； ymax＝4(当x＝－1或x＝3时)，故值域为[2,4]． （2)方法一：∵函数y＝x＋4 x是定义域为{x|x≠0} 上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时的最值．∴当x＞0时， y＝x＋4 x≥2 x·4 x＝4，等号当且仅当x＝2时取得． 当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得． 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，无最值． （3）(配方法) y?x2?xx2?x?1?1?1， (x?12)2?34(x?12)2?334?4，则定义域为 R ， 0?1(x?1?4,??4?1?0,2)2?3334(x?12)2?34 ??13?y?1(判别式法) 由y＝x2－xx2－x＋1 ，x∈R，得 (y－1)x2 ＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1时，x∈?，∴y≠1.又∵x∈R， ∴Δ＝(1－y)2 －4y(y－1)≥0， ∴－13≤y<1.，∴函数的值域为??1?－3，1???. 【举一反三】2 （1）（北师大第二次月考）函数y?x2?1的定义域 是(??,1)?[2,5)，则其值域是（ ） A、(??,0)?(12,2] B、(??,2] C、(??,12)?[2,??) D、(0,??) （2）函数y＝2x－1－2x的值域为 （3）（13惠州二调）已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( ) A．(2－2，2＋2) B．[2－2，2＋2] C．[1，3] D．(1，3) 答案：（1） A; （2）A （3）(－∞，1] ； 提示：（1） 当x?1时，x?1?0，此时 y=2x?1?0。当2?x?5时，1?x?1?4，此时14?1x?1?1，12?2x?1?2，即12?y?2，综上函数的值域为 (??,0)?(12,2]，选A. 2 （2） 方法一：令1－2x＝t(t≥0)，则x＝1－t2 . ∴y＝1－t2 －t＝－??1?t＋2??25?＋4 . ∵二次函数对称轴为t＝－1 2 ，∴在[0，＋∞)上， 3 y＝－??t＋1??25? 2 ? ＋4 是减函数． 故y＝－??1?0＋2??25 max?＋4 ＝1，故函数有最大值1，无最 小值，其值域为(－∞，1]． 方法二：∵y＝2x与y＝－1－2x均为定义域上的 增函数，故y＝2x－1－2x是定义域为{x|x≤1 2}上的 增函数，故y1 max＝2×－ 1－2×12 2 ＝1，无最小 值． 故函数的值域为(－∞，1] (3) 由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b2＋4b－3>－1，解得2－2 例3 换元法求函数的值域 求下列函数的值域： （1）y?log3x?logx3 （2） y??x?5??x?2?x?1?x?2? （3）y＝2x＋4－x 解析：（1）设t?log3x?R，则 y?log?t?13x?logx3t?2或??2,则值域为 ?2，+??????,?2?； (2) 设 t?x?1?3, 则 t?4??t?1?t2y??t??5t?4t?t?428t?5?3， 则值域为??28?3，+????； （3） ∵x∈[0,4]，∴可令x＝4cos2θ，θ∈??0，π 2??， 则y＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2. 又0≤θ≤ππ 2，φ≤θ＋φ≤2 ＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝ 1 5 ， ∴2≤y≤25，则值域为??2,25??； 【举一反三】3 （1） 函数y＝4x2＋8x＋13 6?1＋x?(x＞－1)的最小值是 ( ) A．1 B．2 C.2513 12 D.6 1（2）(13哈尔滨师大附中期中) 函数 y???1?x2?1?2??的值域为( ) A．(－∞，1) B.?1?2，1?? C.?1?2，1?? D.?1 ?2，＋∞?? 答案：（1）B ; (2) C 提示：（1） 令x＋1＝t，则原式化为y＝4t2＋9 6t ＝23t＋331 2t≥2.当且仅当t＝2，即x＝2时， ymin＝2.故应选B. (2) 因为x2＋1≥1，所以0<11x2＋1≤1，令t＝x2＋1 ， 则112≤1t2<102，即12≤1t2<1，所以1 2≤y<1.故选C. 【课标创新题】 不等式恒成立的研究方法 (10天津高考题改编) 设f(x)＝x2－1，对任意x∈ ?3?2，＋∞??，f?x?m??－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立， 求实数m的取值范围． x2 解析：由题意，得2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2m－1 ＋4(m2－1)在x∈?3?12，＋∞??上恒成立，即2m2－4m≤－32332x2－x＋1在??2，＋∞??上恒成立．因为y＝－x2－x＋1在?3?2，＋∞??上单调递增，所以当x＝3 2时，ymin＝－513，所以m2－4m2≤－5 3 ， 4 即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－ 32或m≥32 . 【举一反三】 （13河北省衡水中学第一次调研）已知函数 f(x)?x3?3x对任意的 m?[?2,2],f(mx?2)?f(x)?0恒成立，则 x? . 答案：(?2,23)； 提示：因为函数f(x)?x3?3x是奇函数，且在定义域上f(x)?x3?3x单调递增，所以由 f(mx?2)?f(x)?0得 f(mx?2)??f(x)?f(?x)，即mx?2??x， 所以(m?1)x?2，当x?0时，不等式(m?1)x?2恒成立.当?1?m?2时，x?2m?1，恒成立，此 时，x?22?1?23，当?2?m??1时，x?2m?1恒成立，此时， 2?2?1?x?0，即?2?x?0，综上x?(?2,23). 【课标自测题】 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. (13海淀模拟)函数f(x)＝(a－2)x2 ＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．{－2} D．[－2,2) 答案：C 提示：由函数f(x)的值域为(－∞，0]可知，函数f(x)的最大值为0，可求得a＝－2. 2. 当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2 －4x＋c的值域 为 ( ) A．[c,55＋c] B．[－4 3 ＋c，c] C．[－4 3 ＋c,55＋c] D．[c,20＋c] 答案： C 提示：∵f(x)＝3(x－242 3)2－3＋c，x∈[0,5]，∴当x＝3时，f(x)＝－4 min3 ＋c；当x＝5时，f(x)max＝55＋c. 3. 函数y＝2－－x2 ＋4x的值域是( ) A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2，2] 答案：C； 提示：－x2 ＋4x＝－(x－2)2 ＋4≤4， 0≤－x2＋4x≤2， －2≤－－x2 ＋4x≤0， 0≤2－－x2 ＋4x≤2， 所以0≤y≤2. 4. (13年太原模拟)定义在R上的函数f(x)满足 f(x)＝??? log2?8－x?，x≤0，?f?x－1?－f?x－2(3)的值为 ? ?，x>0， 则f( ) A．1 B．2 C．－2 D．－3 答案：D 提示：依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3，选D. 5. 函数f(x)＝x x＋1的最大值为（ ） [来源:Zxxk.Com]A 1 2 B 2 C 3 D 0 答案：A 提示：因为x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最 大值．当x>0时，f(x)＝x11 x＋1＝x＋ 1，而x＋ xx ≥2。当且仅当x＝1时等号成立，所以f(x)≤1 2 . 6.(13三明检测)函数 x－1 y＝???2－2，x∈?－∞，2]??21－x－2，x∈?2，＋∞? 的值域为( )[ A.??3?－2，＋∞??? B．(－∞，0) 5