随机变量的数字特征——总结
第四章 随机变量的数字特征
㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义
(1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为
??xkP?X?xk? (离散型) ，?k EX??? ??xf(x)dx (连续型) ，???其中Σ表示对X的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量机变量
的概率分布为
, 即
，若，则称级数为随
的数学期望（或称为均值），记为
2、两点分布的数学期望
设服从0—1分布，则有
.
，根据定义，的数学期望为
3、二项分布的数学期望
设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望
设随机变量
。
服从参数为的泊松分布，即，从而有
①常见的连续型随机变量的数学期望
1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U[a，b] (a = 则 - 1 - = ∴ E(ξ)=(a+b)/2． 即数学期望位于区间的中点． 随机变量的数字特征——总结 2)正态分布 设随机变量ξ服从正态分布， ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为: (σ>0， - 则 <μ<+ ) 令 得 ∴ E(ξ)= μ . 3)指数分布 设随机变量 服从参数为 的指数分布， 的密度函数为 ，则 . (2) 随机变量的函数的数学期望 设y?g(x)为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量Y?g(X)的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数Z?g(X,Y)，有类似的公式： ??g?xk?P?X?xk? (离散型) ；?k EY?Eg(X)??? ．??g(x)f(x)dx （连续型）?－????g?xi,yj?P?X?xi,Y?yj? ?离散型?；?ij EZ?Eg?X,Y?????? ??g?x,y?f?x,y?dxdy ?连续型? ．?????设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数 P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?, ??jijg(ai,bj)pij绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为 E(X)?E[g(X,Y)]???ig(ai,bj)pij； 特别地 ??aiiipij;E(Y)???bjijpij. g(x)f(x)dx设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 ???绝对收敛， ??则X的函数g(X)的数学期望为 E[g(X)]??????g(x)f(x)dx． - 2 - 随机变量的数字特征——总结 设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分 ??????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为 E[g(x,y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy； . 特别地 E(x)???????????xf(x,y)dxdy, E(Y)???????????yf(x,y)dxdy注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。 2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有Ec?c． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数?，有E?X?(3) 对于任意X1,X2,?,X(4) 如果X1,X2,?,Xmm?EX．例：E(aX+b)=aE(X)+b ，有E?X1?X2???Xm??EX1?EX2???EXm． m相互独立，则E?X1X2?X??EX1EX2?EXm．(注：相互独立 有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称DX?E(X?EX)为随机变量X的方差，称??2?EX2?(EX) 2DX为随机变量X的标准差．随机变量X的方差有如下计算公式： ???xk?EX?2P?X?xk? (离散型) ；?k?DX??? (4.3) 2??x?EX?f(x)dx (连续型) ．?????2、常见分布的方差 (1)两点分布 设ξ～(0-1)，其概率分布为: P(ξ=1)=p， P(ξ=0)=1-p=q (0 设ξ～B(n,p)， 其概率分布为: (k=0, 1, 2,?,n) (0 (此处运用组合数公式 ) - 3 - 随机变量的数字特征——总结 = =, (运用二项分布的数学期望公式知 E(ξ2)=np(n-1)p+np , ∴ D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=np(1-p)． (3)均匀分布 设ξ～U[a, b] ( a< b)，它的概率密度函数为: ) E(ξ)=(a+b)/2 , ∴ D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=(b-a)2/12. (4)正态分布 . 设ξ～N(μ, σ2),它的概率密度函数为: (σ>0，-∞<μ<+∞) E(ξ)=μ (令t=(x-μ)/σ) =σ2 ∴ D(ξ)=σ2. (5)指数分布 - 4 - 随机变量的数字特征——总结 2、方差的性质 (1) DX?0，并且DX?0当且仅当X（以概率１）为常数； (2) 对于任意实数?，有D?X??DX；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用） (3) 若X1,X2,?,Xm2两两独立或两两不相关，则 D?X1?X2???Xm??DX1?DX2???DXm． （4）D(X)≥0，D(X)=0的充要条件是P｛X=E（X）｝=1或者P{X=C}=1. (5)设X是一个随机变量，c是常数，则D(X+c)=D(X).例：D(kξ+c)= k2D(ξ)； ㈢ 切比雪夫不等式 我们知道方差D(X)是用来描述随机变量X的取值在其数学期望E(X)附近的离散程度的，因此，对任意的正数?，事件X?E(X)??发生的概率应该与D(X)有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。 定理1 设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在 ，则对于任意正数?，不等式 P [X?E(X)??]?或 D(X)?2 （1） 2P [X?E(X)??]?1?D(X)? （2） 都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。 切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的数学期望和方差即可对X的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则 E(X)?7300,?(X)?D(X)?700 而P{5200?X?9400}?P{|X?7300|?2100}?1?P{|X?7300|?2100} 又P{|X?7300|?2100}?700210022?19 所以P{5200?X?9400}?89 ㈢ 协方差和相关系数 考虑二维随机向量(X,Y)，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X和Y的联合数字特征——协方差和相关系数． - 5 -