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第4讲 导数的综合应用
一、填空题
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系1
式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．
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解析 ∵y＝－3x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9，
令y′<0得x>9，[来源:数理化网] 令y′>0得0 ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值． 答案 9万件 2．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________． 解析 因为函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根． 令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，1即m<－2. 1?? 答案 ?－∞，－2? ?? 4 3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥3，则p是q的________条件． 解析 ∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m. 由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得4 m≥3.故为充分必要条件． 答案 充分必要 4．若函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________． 解析 令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0， ∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0. ∴g(x)＞0?x＞－1. 答案 (－1，＋∞) 5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________． 解析 结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1 6．有一长为16 m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 16－2x 解析 设矩形的长为x m，则宽为：2＝8－x(m) ∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16. 答案 16 7．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米． 解析 S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)． 答案 30 405 8．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)， 如果截面积为20 m2，当宽为________时，使截面周长最小． 解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h， πr2 则截面积S＝2rh＋2＝20， πr220－2 20πr 截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋r＋πr＝2r＋r－2＋πr π?20? ＝?2＋2?r＋r. ?? π?20? 设C′(r)＝?2＋2?－r2， ??令C′(r)＝0，解得r＝2 故当r＝2 答案：4 10 . 4＋π 10 时，截面周长最小． 4＋π 10 时，周长C最小，即宽为4 4＋π10 4＋π 9．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中?梯形的周长?2 一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． 梯形的面积解析 如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，则DE＝AD＝x m， ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝ 3－x (m)， 3 又S△ADE＝4x2(m2)， 33 ∴梯形的面积为4－4x2(m2)， 2 43x－6x＋9∴s＝3×(0＜x＜1)， 1－x2∴s′＝ －83?3x－1??x－3?3×?1－x2?2， 1?1??1? 令s′＝0得x＝3或3(舍去)，当x∈?0，3?时，s′＜0，s递减；当x∈?3，1? ????1323 时，s′＞0，s递增．故当x＝3时，s的最小值是3. 答案 3233 10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立， 则实数a的值为________． 解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 3131 当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥x2－x3.设g(x)＝x2－x3，则g′(x)＝ 3?1－2x? x4， 1???1? 所以g(x)在区间?0，2?上单调递增，在区间?2，1?上单调递减，因此g(x)max＝ ?????1?g?2?＝4，从而a≥4. ?? 31 当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤x2－x3. g(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4， 综上可知a＝4. 答案 4 二、解答题 11．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得 a＝2x，h＝ 60－2x ＝2(30－x)，0＜x＜30. 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800. 所以当x＝15 cm时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值， h11此时a＝2，即包装盒的高与底面边长的比值为2. 12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间80π 为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 4解 (1)设容器为V，则由题意，得V＝πr2l＋3πr3. 80π 又V＝3，故l＝ 4V－3πr3 πr28044?20?＝3r2－3r＝3?r2－r?. ?? 由于l≥2r，所以0 ＝2πr×3?r2－r?×3＋4πr2c. ??160π 因此y＝4π(c－2)r＋r，0 2