第3讲 不等式与线性规划
1.(2016·全国Ⅰ卷,文12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )
(A)[-1,1] (B)-1,
(C)-, (D)-1,-
解析:f'(x)=1-cos 2x+acos x
=1-·(2cosx-1)+acos x
2
=-cosx+acos x+,
f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0在R上恒成立. 令cos x=t,t∈[-1,1],
2
则-t+at+≥0在[-1,1]上恒成立, 即4t-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,
2
令g(t)=4t-3at-5, 则
2
2
解得-≤a≤,故选C.
2.(2018·全国Ⅰ卷,文14)若x,y满足约束条件解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.
则z=3x+2y的最大值为.
由z=3x+2y得y=-x+.
作直线l0:y=-x,平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6. 答案:6
3.(2018·全国Ⅲ卷,文15)若变量x,y满足约束条件是.
则z=x+y的最大值
解析:画出可行域如图所示阴影部分,由z=x+y得y=-3x+3z,作出直线y=-3x,并平移该直线,
当直线y=-3x+3z过点A(2,3)时,目标函数z=x+y取得最大值,即zmax=2+×3=3.
答案:3
4.(2016·全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为元.
解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则
z=2 100x+900y.
画出可行域如图阴影部分.
由解得
所以zmax=2 100×60+900×100=216 000,
所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元. 答案:216 000
1.命题角度
(1)不等式:结合集合考查不等式的解法,在解答题中考查不等式的解法、基本不等式的应用等,主要以工具性为主进行考查.
(2)线性规划:考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题. 2.题型与难易度
(1)选择题、填空题考查不等式的解法和简单线性规划问题,在解答题中考查不等式的应用. (2)难度中等.
(对应学生用书第6~7页)
不等式的性质与解法
【例1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c<0,在不等式①>,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)<(b-c),④be>ae中,所有正确命题的序号是( ) (A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④
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(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x-2ax-3a<0(a>0)的解集为. 解析:(1)用排除法,因为a>b>1,c<0, 所以可令a=3,b=2,c=-4,
此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②错误,排除A,C,D,故选B.
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(2)因为x-2ax-3a<0?(x-3a)(x+a)<0,
c
c
a
b
a>0,-a<3a,
所以不等式的解集为{x|-a (1)使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件,如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况;(2)解一元二次不等式时首先把二次项系数化为正值,再根据该不等式对应的一元二次方程的实根的情况确定其解集,如含有字母参数需要分类讨论. 热点训练1:(1)(2018·广东深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a)>f(a),则实 2 数a的取值范围是( ) (A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-1,1) (C)(-2,1) (D)(-1,2) 2 (2)(2018·河南豫南豫北名校高三上精英联赛)不等式x-3|x|+2>0的解集是. 解析:(1)因为f(x)=易知f(x)为增函数, 2 2 所以f(2-a)>f(a)等价于2-a>a, 即a+a-2<0, 解得-2 所以实数a的取值范围是(-2,1),故选C. (2)原不等式可转化为|x|-3|x|+2>0, 解得|x|<1或|x|>2, 所以x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞). 答案:(1)C (2)(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞) 基本不等式 【例2】 (1)(2018·广西柳州市一模)已知圆C1:(x+2a)+y=4和圆C2:x+(y-b)=1只有一条 2 2 2 2 2 2 公切线,若a,b∈R且ab≠0,则(A)2 (B)4 (C)8 +的最小值为( ) (D)9 (2)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知a>b>0,且ab=1,那么解析:(1)由圆的方程可得 C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1, 由两圆只有一条公切线可知两圆内切, 所以|C1C2|=r1-r2, 即 =1, 取最小值时,b=. 所以4a+b=1, 22 所以+=+ =4+1++ ≥5+2=9. 当且仅当=时,等号成立, 所以+的最小值为9.故选D. (2)因为ab=1,a>b>0, 所以==(a-b)+, ≥2=2, 当且仅当a-b=, 即a-b=时,等号成立,即取最小值, 由得-b=. 所以b=或b=(舍去). 答案:(1)D (2) 基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)明确不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立;(2)合理变换求解目标,如常数代换法、整体