考查角度1函数的单调性、奇偶性与周期性
分类透析一确定函数的单调性(区间)
例1 函数y=lo(-x+x+6)的单调递增区间为().
2
A. B.
C.(-2,3)
2
D.
解析 由-x+x+6>0,得-2 2 ∴只需求t=-x2+x+6在(-2,3)上的单调递减区间. 又t=-x+x+6在定义域(-2,3)上的单调递减区间是 2 , 故y=lo(-x+x+6)的单调递增区间为答案 A 2 . 方法技巧 1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.确定函数单调性的常用方法 (1)定义法:先求定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论. (2)图象法:若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可画出,则由图象的升、降写出它的单调性. (3)转化法:转化为已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再确定函数的单调性. (4)导数法:先求导,再确定导数值的正负,最后由导数值的正负得函数的单调性. 分类透析二函数单调性的应用 例2 (1)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则(). A.f(-1) B.f(0)>f(3) D.f(0)=f(3) (2)函数f(x)=的最大值为. (3)已知函数f(x)=若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是. 2 解析 (1)依题意得f(3)=f(1),且-1<0<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得 f(-1) (2)当x≥1时,函数f(x)=单调递减, 所以f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1; 当x<1时,易知函数f(x)=-x+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2. 2 (3)由题意知f(x)= 由函数f(x)的图象可知f(x)在R上单调递增. 由f(2-a)>f(a),得2-a>a,解得-2 方法技巧 利用函数单调性解题的常用策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;②需注意:若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后由单调性求出最值. 分类透析三函数周期性的应用 2 2 例3 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 xf+f(1)=. 解析∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-1)=-f(1), 又f(x)的周期为2, ∴f(-1)=f(1),∴f(1)=-f(1),即f(1)=0. 又f=f=-f=-=-2, ∴f+f(1)=-2. 答案-2 方法技巧 1.根据函数的周期性求给定区间上的函数值时,应根据周期性,由待求区间转化到已知区间. 2.活用周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a; (2)若f(x+a)=(3)若f(x+a)=-,则周期T=2a; ,则周期T=2a. 分类透析四函数奇偶性的应用 例4 (1)若函数f(x)=xln(x+(2)已知奇函数f(x)=)为偶函数,则a=. 则f(-2)的值等于. )为奇函数, 解析 (1)已知f(x)为偶函数,则y=ln(x+所以ln(x+2 2 )+ln(-x+)=0, 则ln(a+x-x)=0,所以a=1. (2)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(0)=0,则3-a=0,所以a=1. 即当x≥0时,f(x)=3-1,则f(2)=3-1=8, x2 0 因此f(-2)=-f(2)=-8. 答案 (1)1(2)-8 方法技巧 与函数奇偶性有关问题的解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式: 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值: 利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程而求解. (4)利用奇偶性画图象和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. (5)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的取值范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作出判断. 1.(2018年全国Ⅱ卷,文12改编)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(x+4)=f(x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=(). A.-50 B.0 C.-2 D.2 解析 因为函数f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,f(x+4)=f(x), 所以T=4,f(0)=0.因为f(2)=f(-2)=-f(2),所以f(2)=0. 又f(1)=2,所以f(-1)=-f(1)=-2,f(3)=f(-1)=-2, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=25×0=0. 答案 B 2.(2016年天津卷,文6改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(-2)>f(-),则a的取值范围是. a解析∵f(x)在R上是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数. ∵f(-2a)>f(-), ∴-2a<-,∴2a>, 又y=2是增函数,∴a>. x答案 3.(2017年天津卷,文6改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(). A.a 因为f(x)在R上是增函数,可设0 从而x1f(x1) 上,f(x)=其中a∈R.若f=f,则f的值是. 解析∵f=f,f=f, ∴f=f,∴-+a=3-,解得a=3,