定积分中的几何直观方法与不等式的证明
摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分0?p?1与p?1进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列
1 引言
文[1]中给出了一个不等式： 2(n?1?1)??i?1n1?2n?1 （n?1） （1） i田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p?R且p?0，p?1，n?1，则有
n1111?p11?p [(n?1)?1]??p?n??1 （2）
1?p1?p1?pk?1k文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分0?p?1与p?1进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：
命题1的证明【4】 当p?0，k?1时，对于k?x?k?1，有kp?xp?(k?1)p，即
111??， ppp(k?1)xk两边取积分，得
即得
1111?p1?p （4） ?[(k?1)?k]?pp(k?1)1?pk?k?1k1dx??(k?1p)k?1k1d??xxpk?1k1， d x （3）kp对（3）两边分别求和，即得
n1111?p11?p [(n?1)?1]??p?n??1 （5）
1?pk1?p1?pk?1命题1得证。
该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以y?1为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意px义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。
（图1）
在文[5]中，又把（1）式推广为：
命题2【５】 已知?an?为等差数列且a1?0，公差d?0，则
n221 (an?1?a1)??ai?(an?a1)? （6）
dda1i?1其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。
２ 主要结果
下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为
定理1 设?an?为等差数列且a1?0，公差d?0，p?0，p?1，n?1，则
n11111?p1?p?p1?p （7） (an?1?a1)??p?(a1?a)?n1pd(1?p)d(1?p)a1i?1ai为证明定理1，先证明下面的引理
引理1 设?an?为等差数列且a1?0，公差d?0，p?0，p?1，n?1，则
1111?p1?p （8） ?(a?a)?k?1kppak?1d(1?p)ak证明 因为数列?an?是等差数列，且a1?0,d?0，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为p?0，不妨令ak?x?ak?1，则有
akp?xp?akp?1
即
1akp?1?11 （9） ?xpakp对（9）两端在[ak,ak?1]上取积分，有 ?即
d由（11），即得
1111?p1?p?(a?a)? k?1kakp?1d(1?p)akp1111?p1?p （11） ?(a?a)?dk?1kppak?11?pakak?1ak?11ak?111 dx??dx??dx （10）
akakapakp?1xpkak定理1的证明 由引理1可得
11?p1?p?(a1 k?1?ak) （12）pak?1d(1?p) 对（12）式的两边同时求和，得
n?1111?p1?p?(a?a??k?1k) pk?1ak?1k?1d(1?p)n?1即
?ak?1n1pk?111?p1?p?(a?an?11) pa1d(1?p)故有
1111?p1?p ?(a?a)??n?11ppad(1?p)ak?1k1同理，由
n11?p1?p （13） (a1?a)?k?1kd(1?p)akp对式（13）的两边同时求和，可得到
n111?p1?p(an?1?a1)??p
d(1?p)i?1ai故定理1得证。
引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。
（图2）
如果注意到函数f(x)?下列两条几何性质：
1（p?0）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的xp性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质2 曲线总在它的任一切线的上方。
那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到
定理2 设?an?为等差数列且a1?0，公差d?0，p?0，p?1，n?1，则
1d1?p111111?p1?p ?a?(a?a)??(?) （14）k?1k?1kppppak?12pd(1?p)ak2akak?1证明 因为f(x)?1xp（p?0）是下凸函数，由上述两条性质，得 f(ak?1)?f'(ak?1)(x?ak?1)?f(x)?f(aak?1)?f(ak)k)?f(a(x?ak) k?1?ak即得
111?1p aa1?p11apk?1akp?k?1(x?ak?1)?p?ap?(x?ak) k?1pxkak?1?ak对（15）两端在[ak,ak?1]上积分，得（14）成立。
定理2证明的几何意义，可参考下面图3。
（图3）
推论1 当p?0，k?1时，有
1(k?1)p?(k?1)1?p?1(1?p)[(k?1)1?p?k1?p]?1111kp?2[kp?(k?1)p]该结果显然比（4）式更为精细。
15）
（