二维稳态导热在一定边界条件下解析法求解
一、问题描述
二维有限铁板，长1.5m,宽40cm, 短边两端绝热，长边两端表面与空气接触，上下表面处空气温度分别为100℃和20℃，求稳态导热后，板内温度分布。
二、解析法求解
解：
如图建立平面直角坐标系:
所给问题及边界条件的数学描述为：
?2t?2t??0?x2?y2
?t?0x?0?x ?t?0x?H?x
y?0??t?h(t?tf1)?y ?t?h(t?tf2)?y
y????假设该函数可用分离变量法求解，则
t?X(x)Y(y)
1d2X1d2Y?????Xdx2Ydy2
则有
?2X??X(x)?0??? 2?x?2Y??Y(y)?0???? 2?y下面对?取值正负分类讨论：
（1）?<0时
??x??xX(x)?Ae代入X方向边界条件易得：
?Be?
A?B?0
即
?<0时，???只有零解；
（2）?>0时
X?x??Acos?x?Bsin?x
由x方向边界条件解得：B?0,则方程固有值和固有解为
??n? Hn??n???n???,Xn?x??Ancosx,n?1,2???
H?H?将?n代入????得
2Yn(y)?Cne叠加后得方程通解为
??n?yH?Dne?n?yH,n?1,2???
?n?y?y??nn?t(x,y)???aneH?bneH?cosx
Hn?1??其中an?AnCn,bn?AnDn； 对于任一确定x??0,H? 由y方向边界条件代入得：
???n????0?0??0??0??nn????n?nn??nn?HHHH?cosx???ane?bne?h?ae?becosx?htf1 ??n??nHHHHn?1?n?1????n?n?n????????????????n????n?nn?n???cosx???aneH?bneH??h???aneH?bneH?cosx?htf2
HHHHn?1?n?1???整理得：
tf1??????n???n???n????1???1?cosx????a?hHhH????H????n?? ??n????n?????n??b???t???n???n?f2?1?eH???1???????eH??n?hHhH???????x??cos??H??n?系数行列式
hH?en???H??1??n??????1??hH?n????H??n???1?e???hH???n???1????hH????r?A?， ?0，且有r?A故方程有唯一非零解
由Cramer's Rule：
????n???n???He??1?e?1??????hH??hH?an?limn?n??tf1tf2?????n????n???eH???1????1?n?n??hHhH????cosxcosxHH?n???H2n?2??n??e???1??hH??limn??tf2??n????1?n??hH??cosxH?0同理，bn?0
n???H2
即?>0时，???只有零解，这与前面判断结果方程有唯一非零相矛盾，所以?>0的情况不存在
d2X（3）?=0时，有?0 2dx通解为
X?x??C1x?C2
代入 X方向边界条件得X?x??C2，即
t?X(x)Y(y)?C2Y(y)?Y`?y?，（不妨仍记作Y(y)）所以最终结果可以认为与x方向无关；
d2Y同时?0 2dy通解为Y?y??C1y?C2 代入y方向边界条件得
?C1?h?C2?tf?
1??C1?hC1??C2?tf2
解得：
??C1?htf2?tf1???2?C2?h???h??????
1t?t?tf1 h?f2f12????其中，毕沃数Bi??
即?=0时，方程的通解为
t?x,y??t?y??htf2?tf1?h?????2??????y?1t?t?tf1,?x??0,H?,y??0,??? h?f2f12????代入实际情况，取h?100,??81.1,H?1.5,??0.4,tf?20,tf?100得
12t?39.56y?52.087,即为所求问题的解
?x??0,1.5?,y??0,0.4??
三、分析讨论
1.结果分析
下图左为数值法求解所得结果，右为解析法求解所得图像
从图像上可以看出，数值解与解析解所得温度分布趋势一直，Z坐标（温度分布）区间一致，说明解法正确。
从结果图像上看，温度主要分布在50-70°之间，说明对流热阻占到了很大比重。
2.解法分析
该问题的物理模型为二维稳态导热的定解问题，数学模型为二维拉普拉斯方程的定解问题，边界条件X方向为两个第二类齐次边界条件，Y方向为两个第三类非齐次边界条件。解法为分离参数法，并且对特征值?进行了分类讨论。由实际情况可以预测，该问题有唯一确定解，稳态状态为静态稳态，所以在?的三种情况的讨论中，必然有两种情况会被否定。本题中，??0时，方程均为零解。
本题的特殊之处在于最后由于?只能取零，情况特殊，所以最终数学模型转化为两个独立的二阶齐次线性微分方程的求解，物理模型也演变为一维稳态导热，使问题求解大大简化！
一般地，如果X方向边界并非绝热，如四边均为第三类非齐次边界条件，则可利用叠加原理对其进行简化和叠加。可以将问题分解为四个简单情况的叠加，每一个只有一条边为原边界条件，另外三边绝热，最后再将结果叠加。该方法的理论基础为线性微分方程解的叠加原理。需要注意的是，在进行问题分解和简化的时候，只能将边界条件转化为特殊情况的同一类边界条件，即只能转化为绝热（第三类边界条件极限情况），而不能简化为边界温度为零（第一类边界条件）。
3.进一步讨论
本题的解析法求解过程中，依然存在一些问题和值得思考的空间：
（1）在?>0讨论中得到的矩阵方程，其结果的判断，需要对系数行列式，系数矩阵的秩以及其增广矩阵的秩进行进行判断。在应用克莱姆法则求解时，也要对最后的结果处理。作者只是简单利用L 'Hopital's Rule对分子分母的无穷小的阶数进行初步分析，并略去一些为零项。更严密的做法应该是利用级数的收敛来判断，来给出n??时的极限情况。在这里还有进一步完善的空间。
（2）本题的关键在于最终确定特征值只能为零，从而将问题从本质上简化，将拉普拉斯方程两个方向上的方程化为两个独立的方程，将二维稳态导热变为一维稳态导热。那么是否二者之间是等价关系，还需要进一步考虑，即特征值为零对应的物理意义是什么，或者说物理模型能否转化，某些假设（如x方向无传热）是否成立，是否可以通过某些特定数学条件初步判断，还有进一步思考的空间。
参考文献:
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