2009—2010学年第二学期研究生期末考试试卷
学 院： 数信学院 考试对象： 2009年级基础数学专业 课程名称： 微分流形 课程类型： 学位专业课 考试方式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 答题要求：请把答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
1、设?是n维向量空间V上的q阶协变张量, 证明: ?是对称张量当且仅当Sq?????.（10分）
n2、证明：n维球面S?x:x???n?1,且x?1?是一个n维光滑流形. （20分）
3、设映射f:?2??3和g:?3??2的定义分别为:
f?x???e2x1?x2,3x2?cosx1,x12?x2?2?
2g?y???3y1?2y2?y3,y12?y3?1?
设F?g?f, 求F?0.（10分）
4、设U是m维光滑流形M的一个开子集， X是U上的光滑切向量场，证明：对于
?，使得任意的点p?U，必有p的一个开领域V?U，以及M上的光滑切向量场X?XV?XV.（15分）
5、设X?y???x是?2上的光滑切向量场,求X所生成的单参数变换群.（15分） ?x?y2236、设??xydx?zdy?yzdz，??xdx?yzdy?2xdz，并且设映射f:???的
22定义如下：f?u,v??uv,u,3u?v， ??u,v???. 试求：（1）d?； （2）d?；
??（3）d??????d?； （4）f??和f??d??.（20分）
i7、设?M,g?是n维有向黎曼流形, U;x是定向相符的局部坐标系,令
?????gij?g?i,j??x?x?1n?,G?det?gij?. 证明：Gdx???dx与局部坐标系的选取无?关，从而是大范围地定义在M上的n次外微分式. （10分）