近世代数复习题
一、判断题
1、模n剩余类集合的一个全体代表团是0,1,2,......,n （ ） 2、群G的两个子群的交集仍是G的一个子群 （ ） 3、模6剩余类加群的生成元为?1?或?5? （ ） 4、整环I上的一元多项式环I?x?是唯一分解环 （ ） 5、循环群一定是有限群 （ ）
6、整数集合A的元间的小于等于关系是A的一个等价关系 （ ） 7、循环群一定是交换群 （ ） 8、环中的乘法运算满足交换律 （ ） 9、集合A.的元间一个等价关系一定满足自反性、对称性、传递性 （ ） 10、除环只有零理想和单位理想 （ ） 11、?:x?ex是实数集合的一个同态变换 ( ) 12、含有有限个元素的群一定是循环群 ( ) 13、无零因子环的特征是一个素数 ( ) 14、 集合A.的任意代数运算满足交换律 ( ) 15、群G的代数运算满足结合律 ( ) 二、填空题
1、任何一个群都和一个 同构
2、若一个群G的每一个元都是群G中某一个固定元的乘方，这个群G叫做 这个元叫做该群的
3、一个群G的子集H叫做的一个 ，假如H对于G的乘法做成一个群 4、一个环至少有两个理想非别是 ， 。 5、一个交换除环叫做一个
6、一个群G的子群H的右陪集的个数叫做H在G里的 7、一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的
8、一个群G的一个不变子群H的陪集所做成的群叫做一个 三、简答题
1、B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?
??2、 A={所有?0的实数},A?{所有实数}.找一个A与A间的一一映射.说明理由。 3假定A?B,A?B??,A∩B=?为什么
4假定A和A对于代数运算?和?来说同态，A和A对于代数运算?和?来说是同态？ A和A对于代数运算
?????????和?来说是否同态？说明理由。
5A={所有实数}.?: (a,b)?a?2b?a?b这个代数运算适合不适合结合律?为什么？
??6A?{所有有理数};A的代数运算是普通加法.A?{所有?0的有理数}A的代数运算是普通乘法. 那么对于给的代
?数运算来说,A与A间有没有同构映射存在？说明理由。 四、证明题
1、 若群G的每一个元都适合方程x2?e，那么G是交换群。 2、 假定G是循环群，G与G同态，则G也是循环群。 3指数为2的子群一定是不变子群
4假定一个环R对于加法来说做成一个循环群，则是R交换环。
5对于有单位元的环来说，加法适合交换律是群定义里的其他条件的结果。 6一个至少有两个元而且没有零因子的有限环R是一个除环。 复习题参考答案
1、错2、 对3、 对4、 错5、错6、 错7、对8、 错9、 对10、 对11、 错12、错13、错14、 错15、对
填空、1、变换群 2、 循环群 生成元 3、 子群4、零理想 单位理想 5、 域6、 指数 7、特征 8、 商群
简答、1.解 ?只有在A?B时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当A?B,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而a?B,显然矛盾; 若B?A,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故A?B
?2、解：?:a?a?loga 因为a是大于零的实数,所以loga是实数
???? 即 a?A,而a?A,而且a?b?loga?logb.因此?是A到A的映射.
?????又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足loga?a,因此?是A到A的满射. a?a?loga
b?b?logb
????若 a?b, 则 loga?logb.即 a?b?a?b 因此?又是A到A的单射.总之,?是A到A的一一映射. 3、解? 此时, A∩B=A,
这是因为A∩B=A及由A?B得A?A∩B=A,故A?B?A,A?B?B, 及由A?B得A?B?B,故A?B?B,
??????????????4、证: 是。用?1: a?a 表示A到A的同态满射,?2 a?a 表示A到A的同态满射.
A到A的满射 a?b??2[?1(a?b)]??2[(a?b)]?a?b 令?： a?a???2[?(a)1],容易验证?是? 所以?是A和A的关于代数运算?,?来说的同态满射。5、解? 这个代数运算不适合结合律
(a?b)?c?a??2b?2c,a?(b?c)?a?2b?4c(a?b)?c?a?(b?c) 除非c?0. 6、没有，设A?与A间有同构映射?存在,先看在?之下0的象???
0?a 0?a?a0a . 但 0?a?a. 所以 ?看在?之下某??0 ? 再?一元a的象a?a , 那?么
a0a?a a?0, 故必a0?1, 即0?1对?1?A来说,在?之下设有x?0?A, x??1由于?是一同构映射,于是x?x?2x?1?(?1)(?1) 但又知,0?1,故2x?0,从而x?0,与x?0矛盾.
五、1.
2
3、
4
5
6