第四章 点的运动和刚体基本运动
本章要点 一、点的运动
1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：r?r(t)；
ⅱ）直角坐标法：x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：s?s(t). 2 点的速度与加速度的矢量表示
drdvd2r＝2. 速度 v?， 加速度 a?dtdtdt3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为
vx?dydxdz， vy?， vz?. dtdtdt速度的大小和方向余弦为
22?v?vx?v2y?vz?vyvxvz?
cos(v，i)?，cos(v，j)?，cos(v，k)??vvv?加速度在各坐标轴上的投影为
dvyd2ydvxd2xdvzd2z?2，ay??2，az??d2 ax?dtdtdtdtdtdt加速度的大小和方向余弦分别为
22?a?ax?a2y?az?ayaxaz?
cos(a，i)?，cos(a，j)?，cos(a，k)??aaa?4 点的速度与加速度的弧坐标表示
点的速度 v?dsτ， dtdvd2sτ?2τ； 切向加速度 a??dtdt 1
v2法向加速度 an?n，
ρ其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。 全加速度为 a?aτ?an
aτan全加速度a的大小和它与法线间夹角的正切分别为
2a?aτ2?an，tg?a,n??
解题要领：
1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长. 2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。
3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程
点的速度：v?222222vx?vy?vz， 点的加速度： a?ax?ay?az，
切向加速度： at?dv22， 法向加速度：an?a?at， dttv2曲率半径：??， 弧坐标：s??vdt.
0an
二、刚体的平移
刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述
转动方程 ???(t)， 角速度 ??d?， dtd?d2??2. 角加速度 ??dtdt匀速转动（?为常量），则 ???0??t，
2
匀变速转动（?为常量），则???0??t，???0??0t?2 角速度和角加速度的矢量表示
12?t. 2ω??k， α??k，
其中k为沿转动轴方向的单位矢量。 3 转动刚体上各点的速度和加速度
距转轴距离为R的点的速度为 v?Rω，
v2?R?2 切向加速度： at?R? ， 法向加速度： an?R全加速度a的大小： a?R加速度a的方向： tg???2??4
RαRω2aτan??αω2.
用矢积表示刚体上各点的速度和加速度
点的速度 v?ω?r ，
切向加速度aτ?α?r， 法向加速度 an?ω?v.
解题要领
1 利用三角函数关系写出转动方程，对时间求导一次得到角速度，求导两次得到角加速度方程，角速度或角加速度为正，表明其转向是与角度增加的方向一致；角速度和角加速度同号（异号）表明刚体作加（减）速转动。
2 定轴转动刚体上点的切向和法向加速度的计算公式是点作曲线运动时的特例，不可混淆。
第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答
4-1 图示曲线规尺的杆长OA?AB?200mm，CD?DE?AC?AE?50mm。杆OA绕O轴转动的规律为???5trad，并且当运动开始时，角
??0，求尺上D点的运动方程和轨迹。
解： 已知??0.2?t，故点D的运动方程为
xD?200cos0.2?t mm
mm
题 4-1图
yD?100sin0.2?t
消去时间t得到点D的轨迹方程为
3
22xDyD??1（椭圆） 222001004-2 图示AB杆长l，以???t的规律绕B点转动，而与杆连接的滑块B以s?a?bsin?t的规?为常量。
律沿水平线作谐振动，a、b为常量。求A点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系Oxy, 则A点位置坐标为x?s?lsin? ，y??lcos?，即
x?a??b?l?sin?t y??lco?st. 消去时间t得A点轨迹方程为：
题4-2图
(x?a)y2?2?1.（椭圆）
(b?l)2l4-3 套筒A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速v0拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A的速度和加速度与距离x的关系式。 解：设t?0时，绳上C点位于B处，在瞬时t,到达图示位置 则 AB?BC?2x2?l2?v0t?常量，将上式求导，得到管套
A的速度和加速度为
dx?v0? vA?dtx22dvAv0lx?l， aA???3，
dtx22
题4-3图
负号表示vA,aA的实际方向与x轴相反。
4-4 如图所示，半径为R的圆形凸轮可绕O轴转动，带动顶杆BC作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A点，偏心距OA?e，???t，其中?为常量。试求顶杆上B点的运动方程、速度和加速度。 解：以O点为原点建立坐标系，由余弦定理可得
AB2?OA2?OB2?2OA?OB?cos?t
其中OA=e ，AB=R ，设OB?yB代入上式 可以得到 yB?2eyBcos?t?e2?R2?0， 解出
题4-4图
2
2ecos?t?(2ecos?t)2?4(e2?R2) yB?
2
4
222?ecos?t?R?esin?t dyesin2?t vB?B??e?(sin?t?)
222dt2R?esin?tdvBecos2?te2sin2?t aB???e?(cos?t??). 3222dtR?esin?4(R2?e2sin2?t)24-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M，其余条件不变。试求物块上B点的运动方程、速度和加速度。 解：由右图所示
yB?R?ecos?t，
vB? aB?dyB??e?sin?t， dt
题4-5图
dvB?e?2cos?t. dt4-6 图示a、b、c三种机构，已知机构尺寸h和杆OA与铅直线的夹角???t，其中?为常量，分析并比较它们的运动：
1）穿过小环M的杆OA绕O轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。
2）绕O轴转动的杆OA，推动物块M沿水平面滑动，求物块M上一点的速度和加速度。 3）杆OA绕O轴转动时，通过套在杆上的套筒M带动杆MN沿水平轨道运动，求MN上一点的速度和加速度。
a) b) c)
题 4-6图
解：经分析图a)、b) 、c) 中M点速度和加速度相同。以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。对图在a)、 b) 、c) 中M点都有
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