第七章 拉普拉斯变换
? 7.1 拉普拉斯变换的概念 ? 7.2 拉氏变换的性质 ? 7.3 拉普拉斯逆变换
? 7.4 拉氏变换的应用及综合举例 ? 本章小结 ? 思考题
第一节 拉普拉斯变换的概念 1．拉普拉斯变换的定义
定义1: 设函数f(t)当t?0时有定义, 而积分?内收敛, 则称F(s)???0f(t)e?stdt, (s为一个复参量)在s某一域
???0f(t)e?stdt为函数f(t)的拉普拉斯变换式, 记为: F(s)?L[f(t)].
F(s)称为函数f(t)的拉氏变换, f(t)称为函数F(s)的拉氏逆变换, 记为: f(t)?L[F?1(t)].
??t函数f(t)，(??0)的傅氏变换. (t?0)的拉氏变换就是f(t)u(t)e，例1. 求单位阶跃函数u(t)???0,?1,?1,t?0?, 符号函数sgnt??0,t?0??1,?t?0|t|?0, f(t)?1的拉氏t?0变换.
解: (1) L[u(t)]?(2) L[sgnt]?(3) L[1]??0??0e?stdt???st1se?st??0?1s)?0; , Re(s)?0, 即: L[u(t)]?,Re(ss1???(sgnt)edt??st???0???0edt??1se?st1?st??11?stedt??e0?, Re(s)?0, 即: L[sgnt]?,Re(s)?0;
sss11???L[1]?,Re(s)?0. , , 即: Re(s)?00ss一般规定: 在拉氏变换中f(t)均理解为: f(t)?0，t?0. 即写下f(t)?sint时, 理
Re(s)?0的象原函数可写为: f(t)?1, 即: L[]?1. 解为f(t)?u(t)sint, 象函数F(s)?，ss1?11例2. 求指数函数f(t)?e的拉氏变换 (k为实数). 解: L[f(t)]?kt???0e?ekt?stdt????0e?(s?k)tdt
??L[e]?kt1s?k1e?(s?k)??0?1s?k, R(s?k)?0
s?k,(Re(s)?k)
由上式可得:
L[e?kt]?1s?kj?t,(Re(s)??k), L[e]?1s?j?,(Re(s)?0)
2．拉氏变换的存在定理
定理1: (拉氏变换的存在定理) 若函数f(t)满足下列条件:
(1) 在t?0的任一有限区间上分段连续;
(2) 当t???时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M?0及c?0, 使得f(t)?Me，0?t???成立. 则函数f(t)的拉氏变换F(s)?平面Re(s)?c上一定存在, 且为解析函数. 说明:
(1) 这个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这个条件， (2) 一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相比要弱的多． 例3. 求正弦函数f(t)?sinkt，k为实数的拉氏变换.
解: 因为sinkt?e,M?1,c?0, 所以满足拉氏变换存在定理中的条件,
?L[sinkt]?0tct???0f(t)e?stdt在半
???0sinkte?st2?stdt
ks?k22?e2s?k2[?sinkt?kcoskt]??0?
同理可以得到: L[coskt]?3. ?函数介绍
形如???ss?k2.
0et?tm?1dt，(m?0)的函数称为珈玛函数, 记为?(m), 即?(m)????0et?tm?1dt.
?函数性质: ?(m?1)?m?(m), 特别当m为正整数时, ?(m?1)?m!
?()?21???0et?t?12dt?2???0e?u2du,(t?u,dt?2udu)?22?2??
例4. 求幂函数f(t)?tm,(m?0)的拉氏变换. 解: L[t]?m???0e?stmtdt??(m)?(st)smm?s??0et?tm?1dt
????0e?std(st)s?1m?1???0tedt
m?t??(m?1)sm?1,(m??1,Re(s)?0).
4. 查表求拉氏变换 (拉氏变换附表) 例5. 求函数sin2tsin3t的拉氏变换. 解: L[sin2tsin3]t附表第20式: a?2,b?3
12s(s?5)(s?1)2222??12s(s?25)(s?1)22
例6. 求函数e?bt2(cosbt?sinbt)的拉氏变换.
解: 这个函数拉氏变换公式不能直接找到,
e?bt2(cosbt?sinbt)?e?bt2[cosbt?cos(?2?bt)]?e?bt2(?222sin(?4?bt))
附表第17式: a??b,b??4
?L[e?bt(s?b)sin(cosbt?sinbt)]??2422(s?b)?(?b)?(?b)cos?4?2s2(s?2bs?2b)22.
第二节 拉氏变换的性质 一、线性与相似性质 1. 线性性质
设?,?为常数, 且有L[f1(t)]?F1(?)，L[f2(t)]?F2(?), 则有
L[?f1(t)??f2(t)]??F1(?)??F2(?), L[?F1(?)??F2(?)]??f1(t)??f2(t).
?1例1. 求函数cos?t的拉氏变换. 解: 由于cos?t?12(ej?t?e?j?t), L[ej?t]?1s?j??L[cos?t]?12(L[ej?t]?L[e?j?t])
?12s?j?[1?1s?j?]?ss??22
例2. 已知F(s)?5s?1(s?1)(s?2)1, 求L?1[F(s)].
解: F(s)?5s?1(s?1)(s?2)?1?2s?1?1?31s?11s?2, L[eat]?1s?21s?a?t
?L[F(s)]?2L[]?3L[?1]?2e?3e
2t2. 相似性质
设L[f(t)]?F(?), 则对任一实数a?0有: L[f(at)]?证明:
L[f(at)]?1sF[]. aa???0f(at)e?stx?atdt??1a???0f(x)e?(sa)xdx?sF[] aa1二、微分性质 1．导数的象函数
设L[f(t)]?F(s), 则有L[f?(t)]?sF(s)?f(0). 推广: L[f(n)(t)]?sF(s)?snn?1f(0)?s(n?1)n?2????ff(0)(n?1)(0).
特别地, 当f(0)?f?(0)???f(0)?0时, 有
(n)2L[f?(t)]?sF(s),L[f??(t)]?sF(s),?,L[f(t)]?sF(s).
n此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用
例3. 求解微分方程y??(t)??y(t)?0，y(0)?0,y?(0)??. 解: 对方程两边取拉氏变换，并利用线性性质及微分性质，有
sY(s)?sy(0)?y?(0)??Y(s)?0, 其中Y(s)?L[y(t)],
222代入初值即得: Y(s)??s??22
有前面结果，可以得到:
y(t)?L[Y(?)]?L[?1?1?s??22]?sin?t.
2. 象函数的导数
设L[f(t)]?F(s), 则F?(s)??L[tf(t)]或f(t)??L?1[F?(s)]. 一般地有
t1F(s)??(n1)Lt[f. t(nn例4. 求函数f(t)?tsinkt的拉氏变换.
ks?k22解: L[sinkt]??L[tsinkt]??k2ks. [2]?2222dss?k(s?k)222d同理L[tcoskt]??ddss?k[k22]?s?k2(s?k)2.
例5. 求函数f(t)?t2cos2t的拉氏变换.
22L[tcost]?12L[t(1?cos2t)]?21d222ds[1s?ss?42]?2(s?24s?32)s(s?4)32362
三、积分性质 1．积分的象函数
设L[f(t)]?F(s), 则L[?f(t)dt]?0t1s1nF(s).
t)dt]?推广: L[?dt?dt???f(000tttsF(s).
2. 象函数的积分
设L[f(t)]?F(s), 则L[推广: L[f(t)tnf(t)t??]???s???sF(s)ds, 或f(t)?tL[??1??sF(s)ds].
]??t??sds?sds?ds?????sF(s)ds.
例6. 求函数f(t)?解:
sht的拉氏变换.
L[sht]?L[e?e21t?t]?12L[e?e]?t?t12s?112(1?1s?1)?1s?12
?L[shtt]????s2s?1ds?12lns?1s?1??s?lns?1s?1
由以上公式可以得到一个有用公式: 若???0f(t)tdt存在, 按L[f(t)t]????sF(s)ds, 取下限s?0有:
???0f(t)tdt????0F(s)ds. 同