第4章 不定积分
第二类换元积分法
【教学目的】：
1. 理解第二类换元积分法； 2. 掌握三角换元方法；
3. 会用第二类换元积分法计算不定积分； 4. 记忆新添加的几个常用积分公式。
【教学重点】： 1. 三角换元法；
2. 第二类换元积分法计算不定积分； 3. 几个新的常用积分公式。
【教学难点】： 1. 三角换元法；
2. 几个新的常用积分公式。
【教学时数】：2学时 【教学过程】：
4.2.2第二类换元积分法
定理2（第二类换元积分法）设x??(t)是可微函数，并有可微反函数
t???1(x)，若?f[?(t)]?'(t)dt?G(t)?C,则?f(x)dx?G[(??1(x)]?C．
?第二类换元积分法的解题步骤：
f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt??g(t)dt?G(t)?C?G[??1(x)]?C．
（1）简单根式代换．
1dx． 例14 求?4x?x解 令4x?t,x?t4，则dx?4t3dt
114t3t2t2?1?1?4(t?1?)dt dx?dt?4dt?4dt??x?4x?t2?t?t?1?t?11?t?1? ?4?t2?t?lnt?1??C．
?2?112dx?4(t?t?lnt?1)?C 将4x?t代入上式得 ?42x?x ?2x?44x?4ln(4x?1)?C
n由以上例题可以看出，当被积函数中只含有nx的不定积分时，直接令
x?t，即作变换x?tn(t?0)，可以推广到一般形式；当被积函数中既含有nxp又含有mx时，令x?t（p为n和m的最小公倍数），如例14． （2）三角代换．
例15 求?a2?x2dx（a?0,且a为常数）．
解 被积函数含有二次根式，利用三角关系式中平方关系sin2x?cos2x?1，使其有理化．
??令x?asint(??t?),a2?x2?a1?sin2t?acost.又dx?acostdt，于
22a2a212222是有?a?xdx?a?costdt??(1?cos2t)dt?(t?sin2t)?C
222a2(t?sintcost)?C． ?2x代回变量，由sint?,画一个直角三角形，如图4-2所示：
axa2?x2由t?arcsin,cost?,于是有
aaa222?a?xdx?2(t?sintcost)?C
ata2?x2图4-2
xa2xxa2?x2 ?(arcsin?.)?C
2aaaa2xx(arcsin?2a2?x2?C． ?2aa被积函数中含有二次根式a2?x2，a2?x2，x2?a2(a?0)的不定积分
这三种根式通常采用三角换元的方法可去掉根号：
含a2?x2时，设x?asint；含a2?x2时，设x?atant；含x2?a2时，设x?asect，在代回变量时，可借助直角三角形．
例18 求?x2(2?x)10dx． 解 显然没有基本积分公式可直接套用，凑微分也不能解决问题，10次方展开又比较麻烦，因此用换元法去解决．
设t?2?x,则x?2?t,dx??dt,原积分转化为
210210x(2?x)dx?(2?t)t(?dt) ?? ???(4?4t?t2)t10dt ??(?4t10?4t11?t12)dt
411112113t?t?t?C 11313411 ??(2?x)11?(2?x)12?(2?x)13?C．
11313在本节的例题中，有几个积分的类型是以后经常遇到的，它们通常也被当作公式使用，这样，常用的积分公式，除了基本积分表中的几个外，再添加下面几个（其中常数a?0）：
（13）?tanxdx??ln|cosx|?C； （14）?cotxdx?ln|sinx|?C；
??（15）?secxdx?ln|secx?tanx|?C；（16）?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C；
111xdx?arctanx?C； （18）dx?arcsin?C； ?a2?x2aa2?x2a11x?a1dx?ln||?C（19）?2；（20） dx?ln|x?x2?a2|?C；2?222ax?ax?ax?a（17）?（21）?1a2?x2在利用第二类换元积分法求积分时，新变量t必须明显地引进，即“换元”和“回代”两个步骤不可省略．
【教学小节】：
通过本节的学习，掌握不定积分计算的第二类换元积分法，学会使用三角换元，并记忆几个新添加的常用积分公式。
【课后作业】：
能力训练 P113 1（6、10）、2（2、3）
dx?ln|x?x2?a2|?C．