海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理） 2015.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）设集合A?{x?R|x?1}，B?{x?R|x2≤4}，则A（A）[?2,??)
（B）(1,??)
（C）(1,2]
B?（ ）
（D）(??,??)
（2）抛物线x2=4y上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A）4
（B）2
（C）1
（D）
1 2（3）已知向量a与向量b的夹角为60?，|a|?|b|?1，则a?b?（ ） （A）3
（B）3 （C）2?3 （D）1
（4）“sin??0”是“角?是第一象限的角”的（ ） （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）圆???x??1?2cos?,??y?1?2sin?（?为参数）被直线y?0截得的劣弧长为（ ）
（A）
2π 2（B）π
（C）22π
（D）4π
?x?y?0,?（6）若x,y满足?x?1,则下列不等式恒成立的是（ ）
?x?y?0,?（A）y?1 （C）x?2y?2?0
（B）x?2 （D）2x?y?1?0
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（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ） ．．．
正视图
（A）
（B）
（C）
y
（D）
（8）某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的．．．．．．是（ ）
O123456x
（A）第一年到第三年 （C）第三年到第五年
（B）第二年到第四年 （D）第四年到第六年
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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知
ai??1?i，其中i是虚数单位，那么实数a= . 1?i开始i = 1, S = 0 S = S + lg ii = i + 1否S?1是输出 i （10）执行如图所示的程序框图，输出的i值为______．
结束 （11）已知m,4,n是等差数列，那么(2)m?(2)n=______；mn的最大值为______． （12）在?ABC中，若a?2,c?3,?A?π，则?B的大小为 . 4（13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）
?x3,x?a,?（14）设f(x)??2若存在实数b，使得函数g(x)?f(x)?b有两个零点，则a的取
??x,x?a.值范围是 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sin(x?).
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求f(
（16）（本小题满分13分）
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：
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2π4π?x)的单调递减区间. 3
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）
2222的方差分别为s1，s2，试比较s1与s2的大小；（只需写出结论）
（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．
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（17）（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD?DC，BC?2AD?2DC，四边
形ABEF是正方形. 将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面
ABE1F1?平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.
（Ⅰ）求证：BE1?DC；
（Ⅱ）求BM与平面CE1M所成角的正弦值； （Ⅲ）判断直线DM与CE1的位置关系，并说明理由．
CBF1E1
DAECDAMB
图1
F图2
（18）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?alnx?1(a?0). x（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若{xf(x)?0}?[b,c]（其中b?c），求a的取值范围，并说明[b,c]?(0,1).
（19）（本小题满分13分）
x2y26已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)过点(0,?1)，且离心率e?.
ab3（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）是否存在菱形ABCD，同时满足下列三个条件：
①点A在直线y?2上； ②点B，C，D在椭圆M上； ③直线BD的斜率等于1.
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如果存在，求出A点坐标；如果不存在，说明理由.
（20）（本小题满分14分）
有限数列An:a1,a2,???,an.(n?3)同时满足下列两个条件：
① 对于任意的i,j（1?i?j?n），ai?aj；
② 对于任意的i,j,k（1?i?j?k?n），aiaj，ajak，aiak三个数中至少有一个数是数列An中的项.
（Ⅰ）若n?4，且a1?1，a2?2，a3?a，a4?6，求a的值； （Ⅱ）证明：2,3,5不可能是数列An中的项； （Ⅲ）求n的最大值.
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