§2.4 谓词公式的推理演算
习题2.4
1.证明：?x(A(x)?B(x))??x(A(x)?B(x))
证明：（1）左边????x(A(x)?B(x))???x?(A(x)?B(x)) ??x??(A(x)?B(x))＝?x(A(x)?B(x)) 2. 指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。 （1） ①?xP(x)?Q(x)
②P(y)?Q(y)
P规则 US规则：① P规则 US规则：① P规则 ES规则：① P规则 UG规则：① P规则 EG规则：① P规则 EG规则：①
（2） ①?x(P(x)?Q(x))
②P(a)?Q(b)
（3） ①P(x)??xQ(x)
②P(a)?Q(a) （4） ①P(a)?G(a)
②?x(P(x)?G(x))
（5） ①P(a)?G(b)
②?x(P(x)?G(x))
（6） ①P(y)?Q(y)
②?x(P(c)?Q(x))
解：（1）②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用US规则。
A(x)?P(x)?Q(x)， (2)②错，①中公式为?xA(x)，这时，因而使用US规则时，应得A(a)(或
A(y)),故应有P(a)?Q(a)，而不能为P(a)?Q(b)。
3.用演绎法证明下列推理式
?xP(x)??y((P(y)?Q(y))?R(y))，?xP(x)??xR(x)
证明：① ?xP(x) 前提引入 ② P(a) ES①
③ ?xP(x)??y((P(y)?Q(y))?R(y)) 前提引入 ④ ?y((P(y)?Q(y))?R(y)) T①③ ⑤ (P(a)?Q(a))?R(a) US④ ⑥ P(a)?Q(a) T②
⑦ R(a) T⑤⑥
⑧ ?xR(x) EG⑦
4. 将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。
（1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个
体域取全总个体域）
（2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个
体域取人类全体组成的集合）
（3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不
喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类全体组成的集合）
（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕
但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）
解：(2)证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：
王华
上述句子符号化为：
前提：?x(P(x)?Q(x))、S(a)?P(a) 结论：?x(S(x)?Q(x))
（1）S(a)?P(a)
P
（2）?x(P(x)?Q(x)) P （3）P(a)?Q(a) （4）P(a) （5）Q(a). （6）S(a) （7）S(a)?Q(a) （8）?x(S(x)?Q(x)
]（3）命题符号化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。
US（2） T（1）I T（3）（4）I T（1）I T（5）（6）I EG（7）
前提：?x(F(x)??G(x))，?x(G(x)?H(x))，?x(?H(x)) 结论：?x(?F(x)).
证明：(1) ?x(?H(x)) P (2) ?H(c) ES(1) (3) ?x(G(x)?H(x)) P (4) G(c)?H(c) US(3) (5) G(c) T(2)(4) I (6) ?x(F(x)??G(x)) P
(7) F(c)?G(c) US(6) (8) ?F(c) T(5)(7) I (9) ?x(?F(x)) EG(8)
（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。
前提：?x(F(x)?G(x))，?x(F(x)?H(x))，?x(H(x))，?x(?H(x)) 结论：?x(G(x)).
证明：(1) ?x(?H(x)) P (2) ?H(c) ES(1) (3) ?x(F(x)?H(x)) P (4) F(c)?H(c) US(3) (5) ?F(c) T(2)(4)I (6) ?x(F(x)?G(x)) P
(7) F(c)?G(c) US(6) (8) G(c) T(5)(7)I (9) ?x(G(x)) EG(8)
5. 令谓词P(x)、Q(x)、R(x)和S(x)分别表示“x是婴儿”，表示“x的行为符合逻辑”、“x能管理鳄鱼”和“x被人轻视”，个体域为所有人的集合。用P(x)、Q(x)、R(x)、S(x)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）婴儿行为不合逻辑。 （2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。 （3）行为不合逻辑的人被人轻视。
（4）婴儿不能管理鳄鱼。
请问，能从（1）、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，
并用演绎推理法证明之。 解：（1）?x(P(x)??Q(x)) （2）?x(R(x)??S(x)) （3）?x(?Q(x)?S(x)) （4）?x(P(x)??R(x)) 能从（1）（2）（3）推出（4）。
证明：（1） P(x) （2） ?x(P(x)??Q(x)) （3） ?Q(x)) （4） ?x(?Q(x)?S(x)) （5） S(x) （6） ?x(R(x)??S(x)) （7） ?R(x) （8） ?x(P(x)??R(x))
前提假设 前提引入 T 规则：(1)，(2) P规则
T 规则：(3)，(4) P规则 拒取式 UG规则