2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．
已知n是正整数，则an?bn?(a?b)(an?1?an?2b???abn?2?bn?1) ．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ ）
，5) B．(1，3) A．(1 C．(1，5) D．(1，3)
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?A．16
B．24
1，S4?20，则S6?（ ） 2 D．48
C．36
一年级 二年级 三年级 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已
y x 知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率女生 373 z 370 是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，男生 377 则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
?2x?y≤40，??x?2y≤50，4．若变量x，y满足?则z?3x?2y的最大值是（ ）
?x≥0，?y≥0，?A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） H B A I C G
侧视 B D
F 图1
E
F 图2 A C B
E
A．
B． B
B B E D E
E C．
E D．
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6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．(?p)?q B．p?q
C．(?p)?(?q) D．(?p)?(?q)
7．设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则（ ） A．a??3
B．a??3
C．a??
13 D．a??
13
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
????????????CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）
A．
2111a?b B．a?b
3342C．
11a?b 24D．a?132b 3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）
开始 m?4n?69．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出
a? ，i? ．
输入m，n （注：框图中的赋值符号“?”也可以写成“?”或“:?”） 10．已知(1?kx2)6（k是正整数）的展开式中，x的系数小于 120，则k? ．
11．经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ．
12．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是 ．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方
n整除a? 是 输出a，i 结束 图3
228i?1 a?m?i i?i?1 否 π??程分别为?cos??3，??4cos???≥0，0≤???，则曲
2??线C1与C2交点的极坐标为 ．
14．（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x?x?a?21?a?0有实根，则4a的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R? ．
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三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）
0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，?π1?M?，?． ?32?（1）求f(x)的解析式；
（2）已知?，???0，?，且f(?)???π?2?312，f(?)?，求f(???)的值． 513
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为?． （1）求?的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即?的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 18．（本小题满分14分）
x2y2?2?1，抛物线方程为设b?0，椭圆方程为22bb4所示，过点F(0，b?2)作x轴的平行线，与x2?8(y?b．如图)抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
A y F G F1 O B 图4
x （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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19．（本小题满分14分）
?1，x?1?x?R，设k?R，函数f(x)??1?x，试讨论函数F(x)F(x)?f(x)?kx，
??x?1，x≥1?的单调性． 20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?ABD?60，?BDC?45，PD垂直底面ABCD，PD?22R，E，F??P PEDF?，过点E作BC的平行线交PC于G． EBFC（1）求BD与平面ABP所成角?的正弦值； （2）证明：△EFG是直角三角形；
PE1?时，求△EFG的面积． （3）当A EB2分别是PB，CD上的点，且 21．（本小题满分12分）
B E G D F C 2设p，q为实数，?，?是方程x?px?q?0的两个实根，数列{xn}满足图x5 1?p，
4，?）． x2?p2?q，xn?pxn?1?qxn?2（n?3，（1）证明：????p，???q； （2）求数列{xn}的通项公式； （3）若p?1，q?
1，求{xn}的前n项和Sn． 4第4页 共9页
参考答案及解析
一、选择题：C D C C A D B B 1．C【解析】z?a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5
2．D【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000?373?377?380?370?500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64?4．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q)
为真命题
7．B【解析】f'(x)?3?aeax，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?aeax?0有正根。当有f'(x)?3?aeax?0成立时，显然有a?0，此时x?们马上就能得到参数a的范围为a??3。
8．B
二、填空题： 9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i?3。
rrr2r10．【解析】(1?kx2)6按二项式定理展开的通项为Tr?1?C6(kx2)r?C6kx，我们知道x44的系数为C6k?15k4，即15k?120，也即k?8，而k是正整数，故k只能取1。
4482?16 813ln(?)，由x?0我aa11．【解析】易知点C为(?1,0)，而直线与x?y?0垂直，我们设待求的直线的方程为
y?x?b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b?1，故待求的直线的方程为x?y?1?0。
12．【解析】f(x)?sin2x?sinxcosx?的最小正周期T?1?cos2x12?1?sin2x??cos(2x?)?，故函数222422???。 2二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
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