光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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第三章 几何光学
1．证明反射定律符合费马原理
证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为n1和n2（如图所示）。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。
y A(x1,y1) B(x2,y2) x oC'c(x,0) 题1 图 （1）反正法：如果反射点为C'，位于ox轴与A和B点所著称的平面之外，那么在ox轴线上找到它的垂足点C\点，.由于AC'?AC'',BC'?BC'',故光线AC'B所对应的光程总是大于光线AC''B所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。故入射面和反射面在同一平面内。
(2)在图中建立坐xoy标系，则指定点A,B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，反射点
C的坐标为(x,0)所以ACB光线所对应的光程为：
2??n1[(x?x1)2?y12?(x?x2)2?y2]
根据费马原理，它应取极小值，所以有
n1(x?x1)n1(x?x2)d????n1(sini1?sini2)?0
2222dx(x?x1)?y1(x?x2)?y2即： i1?i2
2．根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光
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线的光程都相等。
E C D F A B S S' 题2图
证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S'。设光线SC为电光源S发出的任意一条光线，其中球面AC是由点光源S所发出光波的一个波面，而球面DB是会聚于象点S'的球面波的一个波面，所以有关系式SC?SA，S'D?S'B.因为光程
'???SCEFDS'?SC?CE?nEF?FD?DS ?'???SABS'?SA?nAB?BS根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。
3．睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm。求物体PQ的像P'Q'与物体PQ之间的距离d2为多少？
解：根据例题3.1的结果
1 PP'?h(1?)
nP n'?1.5
n?1 Q Q' P' 题3图 PP'?30?(1?1)?10cm 1.5 光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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4．玻璃棱镜的折射棱角A为600，对某一波长的光其折射率n为1.6。计算：（1）最小偏向角；（2）此时的入射角；（3）能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。
解：（1）等腰棱镜的折射率可以表示为
sinn??0?A
2Asin2其中?0为最小偏向角，可以由上式解出最小偏向角
A600?1?0?2sin[nsin]?A?2sin[1.6?sin]?600?2?53.130?600?46.260
22?1（2）偏向角为最小时，入射角可以表示为
i1??0?A246016'?600??530.08'
21'?11?38.680 , i2?sinn1.6'i2?从棱镜向外透射的最大入射角为 sin'i2?A?i2?600?38.680?21019'
又根据折射定律
sini11? sini2n所以i1?sin?1(sin21019')?35034'
5．一种恒偏向棱镜，它相当于两个300?600?900棱镜与一个450?450?900棱镜按图示方式组合在一起，白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变?1，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r。求证：如果sin?1?则?2??1，且光束i与r相互垂直。（这就是恒偏向棱镜名字的由来）
证：（1）根据光的折射定律 sin?1?sin?2 其中i2为光通过第一个界面的折射角
' i2?i2
?2，
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根据折射定律 nsini2?sin?2
所以 ?2??1, 由于光线入射的两界面相互垂直和?2??1，所以光束i与r相互垂直。
6．高5cm的物体距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm,求像的位置及高度，并做光路图。
解：若光线从左向右传播，如图所示
s??12cm,f'??10
根据凹透镜的成像公式
s'??60cm
由
111??'得： 'ssfy'?s'?得：y'??25cm ys7．一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象。求（1）此透镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？
yy'解：根据面镜公式 ?'?0得：
ss
51?'?0， s'?2cm ?10s根据面镜的成像公式
112112?'?， ??? r?5cm ssr?102r所以此镜是凸面镜
8．某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜的顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？ 解：若光线从左向右传播，如图所示 s??40cm,f'?10cm
根据面镜成像公式
111??' 'ssfL f/ P -s 由上式可得 s?8cm
s'?(?s)8?40L???24cm
22's/ F/ 光学精品课程习题解 第三章 几何光学
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9．物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d1，折射率为n，试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d(n?1)n的一段距离的效果相同。
证明：物体经过玻璃板成的像位置在过去物体的前边，两者的距离等于
1pp'?d(1?)?d(n?1)
nn物体经过玻璃板所成的像对于凹透镜来说是虚物，那么放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d(n?1)n的一段距离的效果相同。
10．欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率为多少？
解：光线从向右传播， s??? s'?2r 根据近轴光线条件下球面折射的物像公式
n'nn'?nn'n'?n????? n'?2n?2 'ssr2rr11．有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距离表面6cm处，求：（1）从物所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。
解：（1）玻璃球可以看做是一个透镜，它的等效焦距为
f'?nR1.5?4??6cm
2(n?1)2(1.5?1)玻璃球体透射的成像公式为
111?? s'sf'可得： s'?15cm
s'15?1.5 （2）横向放大率 ???s6?412．一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。求两气泡的实际位置。
解：若光线向人眼的方向传播
' r??10cm s1'??10cm s2??5cm n'?1 n?1.53
根据物像公式
n'nn'?n得： s1??10cm ??s1's1r