第3课时 任意角的正弦函数、
余弦函数的定义与周期性
1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.
3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等. 4.了解周期函数的定义,并能简单应用.
在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.
问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比
值叫作角α的 ,记作:sin α=;比值叫作角α的 ,记作:cos α=,r= .
当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P的纵坐标b是 的函数,称为 函数,记作: ;点P的横坐标a是 的函数,称为余弦函数,记作: .
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为 ,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为 ,余弦函数值有时也叫余弦值.
问题2:终边相同的角的正弦函数值 、余弦函数值 ,即若
β=α+2kπ(k∈Z),则sin α sin β,cos α cos β.
问题3:正、余弦函数值的符号 (1)表格表示
象限 第一象限 三角函数 sin α cos α 第二象限 第三象限 第四象限 问题4:周期函数的有关概念
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在 常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的 .
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数, 为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为 .
1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为( ).
A.- B. C.- D.
3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是 .
4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).
判断正弦、余弦函数值的符号 判断下列各式的符号. (1)cos(-345°); (2)sin 175° cos 248°.
周期函数的证明
已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
利用正弦函数、余弦函数的定义求值
已知角α的终边在直线y=-x上,求cos α-的值.
若角α的终边落在直线y=-x上,求+的值.
若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值.