高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试
数学试题(文科)
命题人：武汉中学 张怡 审题人：武汉市49中 唐宗保
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.下列命题正确的是（ ）
A. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ） A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．
为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 3.平行于直线2x?y?1?0且与圆x?y?5相切的直线方程是（ ）
A．2x?y?5?0或2x?y?5?0 B．2x?y?5?0或2x?y?5?0 C．2x?y?5?0或2x?y?5?0 D．2x?y?5?0或2x?y?5?0
224.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（ ） A．
B．
C．
D．与P点位置有关
2
2
2
5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）+（y﹣b）=r（ab≠0，r＞0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A．
B.
C.
D.2
7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ） A．2
B． C．
D．3
8.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 支出y （万元） 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ??a??0.76,a? ，??bx? ，其中b??y?bx根据上表可得回归直线方程y据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A．11.8万元 B．11.4万元 C．12.0万元 D．12.2万元
9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ） A．0
B．2
C．4
D．14
yDFOCxB10. 如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点
A?x?1,x?0?C与点D在函数f(x)??1的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该
?x?1,x?0??2点取自阴影部分的概率等于（ ） A．
1131 B． C． D． 648211. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（ ） A．{t|
}
B．{t|
≤t≤2}
C．{t|2} D．{t|2}
12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（ ）
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形； ②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC； ③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为
；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．
其中正确命题的序号是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ．
22
14. 已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x+y=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有
（O为坐标原点），则实数k= ．
15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到
三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为 ．
22
16. 已知AC、BD为圆O：x+y=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数 [0，50] （50，100] （100，150][ （150，200] 3（单位：μg/m） 3
监测点个数 15 40 y 10 （Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？
18.（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC中点，AA1=AB=a． （Ⅰ）求证：AD⊥B1D；
（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D； （Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．
19.（本题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）： （I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；
（II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；
（III）以这12天的PM2.5日均值来估计2015年的空气质量情况，估计2012年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．
20.（本题满分12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上． （1）求矩形ABCD的外接圆的方程； （2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．