高数论文
一 阶 研究课题：一阶微分方程的解法
小组成员：张鹏
学院班级：商学院工商管理（
微 分 方 程 解 法 的 研 究
窦文博 孙洪毅 余雷 2）班 第一节 微分方程的基本概念
【考研大纲要求解读】
了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
【重点及常考点突破】
1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y’）=0 y（x0）=y0 寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为y’的满足方程的那条积分曲线。 2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或多次求导化为微分方程求解。
3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数，代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验证初始条件。
【典型例题解析】
基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.
【例1】 判断y=x（∫e^x/xdx+C）是方程xy’- y=xe^x的通解。 解：由y=x（∫e^x/xdx+C），两边对x求导得；y’=∫e^x/xdx+C+x*e^x/x，即y’=∫e^x/xdx+C+e^x，两边同乘以x，得 xy’=x（∫e^x/xdx+C）+xe^x=y+xe^x， 将原式代入即得 即xy’- y=xe^x.
故y=x（∫e^x/xdx+C）是原方程的通解. 基本类型二：化积分方程为微分方程. 【例2】 设f(x)=sinx-?x0（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所
满足的微分方程.
【 思路探索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件
解：对原积分方程关于x求导，得
F’（x）=cosx-?x0f（t）dt， ①
对①式关于x求导得f“（x）=-sinx-f(x),即f“（x）+f（x）=-sinx 又有f（0）=0，f’（0）=1，记y=f（x），则f（x）满足的微分方程为 y”+ y=-sinx Y|x=0，y’|x=0=1 基本类型三：求初值问题的解 【例3】求以下初值问题的解
y”=x
y（0）=a0，y’（0）=a1，y”（0）=a2. 解：由 y”=x，得
y”=1/2x^2+C1，
y’=1/6x^3+C1x+C2，y=1/24x^4+1/2C1x^2+C2x+C3,
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其中C1，C2,C3为待定的常数，将初值y”（0）=a2，y’（0）=a1，y（0）=a0代入以上三式得C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为y=1/24 x^4+1/2 a2x^2+a1x+a0.
基本类型四：由微分方程通解求微分方程
【例4】 求以y=C1e^x+C2e^-x-X (C1，C2为任意常数)为通解的微分方程.
解：由 y=C1e^x+C2e^-x-X ， ① 两边关于x求导得 y’=C1e^x- C2e^-x -1② 上式两边再关于x求导得 Y”=C1e^x+C2e^-x③
由①式与③式得 y=y”-x,即所求微分方程为y”-y-x=0
第二节 可分离变量的微分方程
【考研大纲要求解读】
掌握可分离变量的微分方程
【重点及常考点突破】
1. 可分离变量方程的通解形式为：∫1/g(y)dy=∫f(x)dx，由于将g(y)作为分母，故若g(y)=0
有解y1,y2,y3,....ym,则变量可分离方程还有特解 y=yi(i=1,2,...,m). 故注意在分离变量的同时，
经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常并不能由通解得到，因此要及时补全。 2. 在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，求解后，应还原为原变量。
【典型例题分析】
基本类型Ⅰ：求解可直接变量分离型微分方程
【例1】 求解下列微分方程（1）ydy+(x^2-4x)dy=0; (2)
xyy’=(x+a)(x+b); (a,b为常数) （3）1+y’=e^y
解:(1) 分离变量得dx/x^2-4x + dy/y=0,即1/4（1/x-4 – 1/x）dx+dy/y=0,积分得
1/4（ln|x-4|- ln|x|）+ln|y|=C1 故原方程通解为（x-4）y^2=Cx(C为任意常数)，特解y=0 包含在通解之中。 （2）用x（y+b）去除方程，则有y/y+b dy=x+a/a dx.积分得y-bln|y+b|=x+aln|x|+C1
故通解为x^a(y+b)^b=Ce^y-x(C为任意常数)，特解y=-b包含在通解之中。 （3）由原方程可得dy/dx=e^y -1
分离变量得 dy/e^y-1=dx, 积分得∫dy/e^y-1=∫dx， ∫（1/e^y -1 – 1/e^y）de^y =∫dx,ln|e^y -1/e^y|=x+lnC1 则通解为ln|1-e^-y|=x+ lnC1 即1-e^-y=Ce^x(C为任意常数)。
方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定
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要注意！
基本类型Ⅱ:求初值问题的解
【例2】 微分方程xy‘+y(lnx-lny)=0 满足条件y(1)=e^3 的解为y=___ 解：xy’+y（lnx-lny）=0，y’+y/xlnx/y=0,u=y/x 则y’=u’x+u. 所以u’x+u=ulnu,u’/ulnu-u=1/x, ∫u’/ulnu-u=∫1/x dx,ln|lnu-1|=ln|x|+C1,lnu-1=cx
即y=xe^cx+1. 又y(1)=e^3, 所以e^3=e^x+1 所以c=2 所以y=xe^2x+1. 【例3】 若可导函数f（x）满足关系式f（x）=∫（0,2x）f（2/t）dt+ln2,
则f(x)=__
解：由题设条件求导得f’(x)=2f(x),解方程得f(x)=Ce^2x. 又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=
ln2;故f(x)=ln2.e^2x,故应填：ln2.e^2x 方法点击:对于这类问题，一般是对积分方程两边求导将其化为微分方程，再求解；这时应注意关系式中隐含的初始条件。
基本题型Ⅲ：求解经变量代换后可化为变量可分离型方程的微分方程 【例4】 求下列微分方程的通解：
^2^2
(1)xdy-ydx=x?x^2+ydx; (2)dy/dx=(x+y-1/x+y+1) 解：（1） 设y=xv,则dy=x=vdx+xdv,则原方程变为 x(vdx+xdv)-xvdx=x
?x^2+x^2v^2)dx,
即dv=±?1+v^2dx. 当上式取正号即x>0时，有dv/?1+v^2=dx 积分得ln（v+?1+v^2）=x+C1,即v+?1+v^2=Ce^x. 由于v=y/x ,故原方程的解为y+?x^2+y^2=Cxe^x.当x<0时 即dv=-?1+v^2dx时 可得到y-?x^2+y^2= Cxe^-x
（2）设u=x+y,则du/dx=1+dy/dx,故du/dx=1+(u-1/u+1),即（1+2u/u^2+1）du=2dx
积分得u+ln(u^2+1)=2x+C 变量还原得原方程通解为（x+y）^2=Ce^x-y -1
基本题型Ⅳ：应用题
【例5】 已知函数y=y(x)在任意点处的增量Δy=yΔx/1+x^2 +a,且当Δ→
0 时，a是Δx的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）
【思路探索】 如果能够获得y（x）的表达式，则y（1）显然可求，由于Δx→0时，a=0（Δx），这说明y在x处可微，且dy=y/1+x^2dx，于是本问题转化为微分方程的特解问题。
解：由于Δy=yΔx/1+x^2 +a,又当Δx→0时，a是Δx的高阶无穷小，故由微分方程的定义知 dy=y/1+x^2 dx 【例6】线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。
Y-y?y?。 解：设曲线方程y=y（x），曲线上点（x，y）的切线方程
X-x由假设，当Y=0时，X=2x，代入上式，得曲线所满足的微分方程初值问题
dy?y?dxx分离变量后积分得xy=C，由y（2）=3知c=6，故所求曲线方程为xy=6 y（2）?33
【例7】海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0）．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）．从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0）．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）． 解：以沉放点为原点，垂直向下为y轴正方向， d2y则有mg-kv-bp=m dt2dy?vd2ydvdydv?*?v， 由dt，则dt2dydtdydv=mg-kv-bp，分离变量得dy=dy则由上式化为v与y之间的微分方程mvmvdv， mg-bp-kv积-分得?mm（mg-bp）?1y???-??kkmg-bp-kv??dv=mm（mg-bp）v-ln（mg-bp-kv）?c， kk2-bp）由y|v?0?0，知c=m（mg故所求关系式为 ln（mg-bp），2kY=-mm（mg-bp）mg-bp-kvv-lnkk2mg-bp 【例8】某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为某湖泊的水v量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为6vv，流出湖泊的水量为已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定63指标．为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超0过m．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内？（注：设湖v水中A的浓度时均匀的．）
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