专题复习(三) 综合与实践
类型1 类比探究
(2017·山西中考适应性考试)综合与实践 问题情境：
如图1，已知点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，且BE＝BF，点M为AF的中点，连接CE，BM.
图1 图2 图3
(1)线段CE与BM之间的数量关系是CE＝2BM，位置关系是CE⊥BM； 猜想证明：
(2)如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α(0°＜α＜90°)．点M为线段AF的中点，连接BM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
探索发现：
(3)将图1中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α＝90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形．请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．
【自主解答】 解：(2)(1)中的两个结论仍然成立． 证明：如图，延长AB到点N，使BN＝AB，连接NF， ∵M为AF的中点，B为AN的中点， ∴BM为△ANF的中位线． ∴NF＝2BM.
∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBA＝90°，AB＝BC＝BN.
∵∠CBA＝∠CBN＝∠EBF＝90°，∠ABE＝∠CBF＝α， ∴∠CBA＋∠ABE＝∠CBN＋∠CBF， 即∠CBE＝∠NBF. 在△CBE和△NBF中， ??
BC＝BN，?∠CBE＝∠NBF， ??BE＝BF，
∴△CBE≌△NBF(SAS)． ∴NF＝CE. ∴CE＝2BM.
∵BM为△ANF的中位线， ∴BM∥NF. ∴∠MBA＝∠N. ∵△CBE≌△NBF， ∴∠ECB＝∠N. ∴∠MBA＝∠ECB.
∵∠MBA＋∠CBM＝90°，
∴∠ECB＋∠CBM＝90°.∴CE⊥BM.
(3)线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化． 理由：设AB＝BC＝a，BE＝BF＝b，则CE＝a＋b. ∵点M为AF的中点， ∴MF＝1
2
(a－b)．
∴BM＝b＋12(a－b)＝1
2(a＋b)．
∴CE＝2BM.
1．(2017·龙东)已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.
(1)如图1所示，易证OH与AD之间的关系为：OH＝1
2AD且OH⊥AD；(不需要证明)
(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？请选择一个图形证明你的结论．
1
图1
图2 图3
解：选图2，结论：OH＝1
2AD，OH⊥AD.
证明：延长OH到点Q，使OH＝HQ，连接QC. 易证△BHO≌△CHQ， ∴∠BOH＝∠Q，OH＝1
2
OQ.
∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形， ∴∠AOD＝180°－∠COB.
∵∠COB＝∠QOC＋∠BOQ＝∠QOC＋∠Q，
∴在△QCO中，∠QCO＝180°－(∠QOC＋∠Q)＝180°－∠COB. ∴∠AOD＝∠QCO.
易证△QCO≌△AOD，∴∠Q＝∠OAD，OQ＝AD. ∵∠AOQ＋∠BOQ＝90°，∠Q＝∠BOQ＝∠OAD， ∴∠AOQ＋∠OAD＝90°.∴OH⊥AD. ∵OH＝112OQ，OQ＝AD，∴OH＝2AD.
∴OH＝1
2
AD，OH⊥AD.
选图3，结论：OH＝1
2
AD，OH⊥AD.
证明：反向延长OH交AD于N，延长OH到点Q，使OH＝HQ，连接QC. 易证△BHO≌△CHQ， ∴∠BOH＝∠Q，OH＝1
2
OQ.
∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形， ∴∠BOC＋∠AOD＝180°. ∴∠BOC＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠Q＋∠COQ＝∠OAD＋∠ADO. ∴∠AOD＝∠QCO.
易证△QCO≌△AOD，∴∠Q＝∠OAD，OQ＝AD. ∵∠BOQ＋∠AON＝90°，
∴∠OAD＋∠AON＝90°. ∴∠ANO＝90°.∴OH⊥AD. ∵OH＝12OQ，OQ＝AD，∴OH＝12
AD.
∴OH＝1
2
AD，OH⊥AD.
2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
图1 图2
(1)观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN； (2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． 解：(2)△PMN为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)． ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵点M，P分别为DE，DC的中点， ∴PM是△DCE的中位线．
∴PM＝1
2CE，且PM∥CE.
同理可证PN＝1
2
BD，且PN∥BD.
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC.
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD， ∠DPN＝∠PNC＋∠PCN ＝∠DBC＋∠PCN.
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°. ∴△PMN为等腰直角三角形．
2