第五、六章 线性系统的频域分析与校正习题与解答
5-1 试求下图(a)、(b)网络的频率特性。
解 （a)依图：
Uc(s)?Ur(s)R21sCR2?1R1?sCR1?K1(?1s?1)T1s?1R2?K?1?R1?R2?? ??1?R1C?RRC?T1?12?R1?R2?
Ga(j?)?Uc(j?)R2?j?R1R2CK(1?j?1?) ??1Ur(j?)R1?R2?j?R1R2C1?jT1?(b)依图：
Uc(s)?Ur(s)R2?1sC1sC??2s?1T2s?1R1?R2???2?R2C ?T?(R?R)C12?2 Gb(j?)?Uc(j?)1?j?R2C1?j?2? ??Ur(j?)1?j?(R1?R2)C1?jT2?5-2 某系统结构图如图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t)
2t （1） r(t)?sin （2） r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)
解 系统闭环传递函数为：?(s)?1s?2 频率特性：?(j?)?12??j??2?4??2?j4??2 幅频特性：?(j?)?14??2
相频特性：?(?)?arctan(??2) 系统误差传递函数：?e(s)?11?G(s)?s?1s?2,
则 ?e(j?)?1??24??2,?(j?)?arcta?n?arcta?en2()（1）当r(t)?sin2t时, ??2，rm=1 则 ?(j?)?2??2?18?0.35, ?(j2)?arctan()??45?2?5e(j?)??2??0.79,
8?2)?arctan2 e(j6?18.4? c?sin(2t?45?ss?rm?(j2)sin(2t??)?0.35) e?ss?rm?e(j2)sin(2t??e)?0.79sin(2t?18.4) （2） 当 r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)时： ???1?1,??2?2, ?(j1)?55?0.45?(j1)?arctan(?12)??26.5?
?10?01e(j1)?5.63?e(j1)?arctan(3)?18.4?
rm1?1rm2?2
cs(t)?rm?(j1)?sin[t?30???(j1)]?rm?(j2)?cos[2t?45???(j2)]
?0.4sin(t?3.4?)?0.7cos(2t?90?)
es(t)?rm?e(j1)?sin[t?30???e(j1)]?rm?e(j2)?cos[2t?45???e(j2)]
?0.63sin(t?48.4?)?1.58cos(2t?26.6?)
5-3 若系统单位阶跃响应如下，试求系统频率特性。 h(t)?1?1.8e?4t?0.8e?9t解 C(s)?(t?0)
R(s)?1 s11.80.836???,ss?4s?9s(s?4)(s?9)则
C(s)36??(s)? R(s)(s?4)(s?9)频率特性为 ?(j?)?36
(j??4)(j??9)5-4 已知系统开环传递函数G(s)?K(?T2s?1)； K,T1,T2?0
s(T1s?1)当??1时，?G(j?)??180?，G(j?)?0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为1。试写出系统开环频率特性表达式G(j?)。 解：依题意有：Kv?limsG(s)?K， essv?1K?1，因此K?1。
s?0?G(j1)??arctanT2?90??arctanT1??180?
arctanT1?arctanT2?arctanT1?T2?90? 所以：T1T2?1
1?T1T2
?jT2?1G(j1)???jT1?1最终得：G(j?)?T22?11? 联解得：T1?2，T2?0.5 2T1?121?j0.5?
j?(1?j2?)5-5 已知控制系统结构如图所示。当输入r(t)?2sint时，系统的稳态输出
cs(t)?4sin(t?45?)。试确定系统的参数?,?n。
解 系统闭环传递函数为 ?(s)?
? 22s?2??ns??n2?n22(?n??2)2?4?2?n2n令 ?(j1)??4?2 2 ??(j1)??arctan2??n??45? 2?n?1联立求解可得
?n?1.244，??0.22。
5-6 已知系统开环传递函数G(s)H(s)?10 2s(2s?1)(s?0.5s?1)试分别计算 ??0.5 和??2 时开环频率特性的幅值A(?)和相角?(?)。 解 ： G(j?)H(j?)?10 2j?(1?j2?)(1(???j0.5?)A(?)?10?1?(2?)2(1??)?(0.5?)222
n??arctan ?(?)??90??arcta20.5? 21??
计算可得： ??A(0.5)?17.8885
??(0.5)??153.435??A(2)?0.3835 ???(2)??327.53?
5-7 绘制下列传递函数的幅相曲线： (1) (3)解 (1)G(s)?K/s (2)G(s)?K/s2
G(s)?K/s3
)KK?j(??2G(j)??e
j?? ??0, (2)G(j0)??； ???,G(j?)?0
??(?)?? 幅频特性见图中曲线(a)。
2G(j?)?K(j?)2?K?2e?j(?)
??0,G(j0)??； ???,G(j?)?0
?(?)??? 幅频特性见图中曲线(b)。
(3)KK?j(32?)G(j?)??e
(j?)3?3G(j0)?? G(j?)?0
??0, ???,
?(?)??3? 2
幅频特性见图中曲线(c)。
5-8 试绘制下列传递函数的幅相曲线。 (1) G(s)?510(1?s) (2) G(s)?
(2s?1)(8s?1)s2解 (1) G(j?)?5(1?16?)?(10?)222
?1?1?1 ?G(j?)??tg2??tg8???tg10?
1?16?2