5.1 习题解答
1．指出下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
（1） A={没有水分，种子会发芽}；
（2） B={从一副52张的扑克牌中，任意取14张，至少有两种花色}； （3） C={从一副52张的扑克牌中，随机抽出一张牌是红桃}. 解：A是不可能事件，B是必然事件，C是随机事件。
2．同时掷甲、乙两颗骰子时，下列事件由哪些基本事件组成：
（1）{出现的点数之和为8}； （2）{出现的点数之和不超过5}；
（3）{出现的点数之和大于6且小于10}.
解：（1）{出现的点数之和为8}={（2，6），（3，5），（4，4），（6，2），（5，3）}
（2）{出现的点数之和不超过5}={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），(2,2),(2,3),（3，1），(3,2)（4，1）}
（3）{出现的点数之和大于6且小于10}={（1，6），（2，6），（3，6），（2，5），（3，5），（3，4），(4,4),（4，5），（6，1），（6，2），（6，3），（5，2），（5，3），（4，3），（5，4）}
3．一批产品中有合格品和废品，从中放回的抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽得废品”,试用Ai的运算表示下列各个事件：
（1） 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2） 只有第一次抽到废品； （3） 三次都抽到废品；
（4） 至少有一次抽到和合格品； （5） 只有两次抽到废品。 解:（1）A1A2
（或者A1A2?A1A2?A1A2或者??A1A2或者
A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3）
（2）A1A2A3 （3）A1A2A3 （4）A1A2A3
（或者A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 或者??A1A2A3）
（5）A1A2A3A1A2A3A1A2A3
4. 某知识书店一天中售出的数学类、外语类、理化类书籍各50本，设每位顾客
每类书籍至多购一本，其中只购数学书的占顾客总人数的20％，只购外语书的占25％，只购理化类书的占15％，三类书全购的占10％.问： a) 总共有多少顾客购书？
b) 同时购数学书和外语书的人数占顾客总人数的比例？
解：设A、B、C表示购数学类、外语类、理化类书籍的顾客集合。 则P(ABC)?0.1，P(ABC)?0.2，P(ABC)?0.25，P(ABC)?0.15。
设P(ABC)?x，P(ABC)?y，P(ABC)?z，顾客总数为S，则可建立方程组
?S(0.2?x?z?0.1)?50?S(0.25?x?y?0.1)?50???S(0.15?y?z?0.1)?50??x?y?z?0.3，解得x?0.05,y?0.1,z?0.15,S?100
求解过程如下：由（4）得到z=0.3-x-y代入前三个方程得到： S(0.6-y)=50, S(0.35+x+y)=50, S(0.55-x)=50
由S=50/(0.6-y)代入后两个方程得到：x+2y=0.25, y-x=0.05 解此方程组得到x=0.05, y=0.1 代入S=50/(0.6-y)得到S=100 代入z=0.3-x-y得到z=0.15. 所以，顾客到总数为100。同时购数学和外语书的人数占顾客总人数的比例为5%。 5. 袋中装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求：
a) 取到的两个球颜色不同的概率； b) 取到的两个球中有黑球的概率。
11C5C315C82?C52?C32解：a) ) ?(或者
C8228C8211C52C32C5Cb) 1?2 =9/14(或者2?23)
C8C8C86. 从n双不同的鞋子中任取2r（2r a) 没有成对的鞋子； b) 只有一对鞋子； c) 有r对鞋子。 解： 2r12rCn(C2)a. 没有成对的鞋子的概率为(没有成对的，就是先从n双中选2r双，2rC2n再从每双中选一个)。 12r?212r?2CnCn?1(C2)b. 只有一对鞋子的概率为 2rC2nrCnc.有r对鞋子的概率为2r C2n 5.2 习题解答 1．某电子产品使用寿命为15年的概率为0.8，而使用寿命为20年的概率为0.4.问现在已使用了15年的这种产品再使用5年的概率是多少？ 解：设A表示某电子产品已使用15年。B表示某电子产品使用20年。P(A)=0.8, P(B)=0.4, AB=B. 则所求概率为P(BA)?P(AB)0.4??0.5。 P(A)0.82．若M件产品中有m件废品，在其中任取两件，求： （1） 已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率； （2） 已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率。 解：若M件产品中有m件废品, M-m件正品。 （1）用A表示“两件中一件是废品”，B表示“另一件是废品”（即，两件都是废品） 222Cm/CMCmP(AB)P(B)（“两件中有一P(B|A)???11?11222P(A)P(A)(CmCM?m?Cm)/CMCmCM?m?Cm件是废品”分为量化种情况“只一件是废品”和“两件都是废品”） 或者 222Cm/CMCmP(AB)P(B)（ “两件中有一件是废品”P(B|A)????2222P(A)P(A)1?CM?m/CMCM?CM?m的对立事件“两件都是正品”） (2) 用C表示“两件中有一件不是废品”即“两件中有一件是正品”，D表示“两件中一件是正品，一件是废品” 11211CmCMCmCMP(CD)P(D)?m/CM?m（C包括两P(D|C)???11?11222P(C)P(C)(CmCM?m?CM?m)/CMCmCM?m?CM?m种情况“两件正品”和“一正一废”） 或者 2222222/CM?CMCM?Cm?CMP(CD)P(D)1?Cm?m/CM?m（C的对立P(D|C)????2222P(C)P(C)1?Cm/CMCM?Cm事件是“两件废品”，D的对立事件是“两件正品或两件废品”） 3．在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中： （1） 甲机被击落的概率； （2） 乙机被击落的概率。 解：A：“甲机第一次向乙机开火，击落乙机”，P(A)=0.2 B：“乙机第一次还击，击落甲机” P(B|A)?0.3 C：“甲机第二次向乙机开火，击落乙机” P(C|AB)?0.4 D：“甲机被击落” E：“乙机被击落” (1) “甲机被击落”是，第一回合中乙机未击落的前提下才能发生的，所以 P(D)?P(D|A)P(A)?P(D|A)P(A)?0?0.3?0.8?0.24 (1) “乙机被击落”有两种可能，一种是第一回合被击落（事件A）,第二种是第 二回合被击落（事件C）.事件C是在A和B都没有发生的前提下发生的。 P(E)?P(B)?P(C)?P(B)?P(AB)P(C|AB)?P(B)?P(A)P(B|A)P(C|AB) ?0.2?0.8?0.7?0.4=0.424 4. 口袋中有10张卡片，其中两张卡片是中奖卡，三个人依次从口袋中提出一张，问中奖概率是否与摸卡的次序有关？ 解:设Ai表示第i个人摸到中奖卡,i=1,2,3 第一个人摸到中奖卡的概率为P(A1)?由全概率公式得到： 第二个人摸到中奖卡的概率为 112C18C22?162PA?PAPA|A1?PAPA|A1???? 112121210C910C990102。 10??????????第三个人摸到中奖卡的概率为 ???????????????P?A?P?A|A?P?A|AA??P?A?P?A|A?P?A|AA??P?A?P?A|A?P?A|AA?232232232PA?PA1APA|A1A?PA1APA|A1A?PA1APA|A1A 32322322321111111111111112C8C18C2C18C7C22?2?142????? 11111110C9C810C9C810C9C810?910所以，三个人摸到中间卡的概率是相同的。所以中奖概率与摸卡次序无关。 5.仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2％；乙工厂生产的为2000支，次品率为3％；丙厂生产的为3000支，次品率为4％.如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂生产的概率为多少？ 解：设A表示随机抽取一支是甲厂生产的，B表示随机抽取一支是乙厂生产的，C表示随机抽取一支是丙厂生产的，D表示随机抽取的产品是次品 则P(D)?P(A)P(DA)?P(B)P(DB)?P(C)P(DC) 1231??0.02??0.03??0.04? 66630所求概率为P(AD)?P(AD)30?0.02??0.1 P(D)66.经普查，了解到人群患某种疾病的概率为0.5％.某病人因有类似病症前去求医， 医生让他做某项生化检验。经临床多次试验，患有该病的患者试验阳性率为95％，而非该病患者的试验阳性率仅为10％.现该病人化验结果呈阳性，问该病人患该病的概率。 解： 设A表示“化验结果为阳性”，B表示“病人（被诊断者）患有此病”。 则P(B)?0.005，P(AB)?0.95，P(AB)?0.10，P(B)?0.995，则 P(A?)P(B)P(?AB)P(B)?P(A?)B0.?95?0.00? 50.100.995所求概率为P(BA)?P(B)P(AB)P(A)?0.0456 7. 随机地掷一颗骰子，连续6次，求 (1) 恰有一次出现“6点”的概率； (2) 恰有两次出现“6点”的概率； (3) 至少有一次出现“6点”的概率。 解：此问题可以看作“6重的贝努利实验”其中事件A“出现6点”的概率为1/6。所以： ?1??5?（1）C???? ?6??6?162?1?（2）C6???6?25?5??? ?6?064?1??5?(3) 1-C???? ?6??6?068. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，进行重复试验，则直到第十次试验时才取得4次成功的概率。 3334解：C9p(1?p)6p?C9p(1?p)6 3.3 习题解答 1．汽车沿街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯红、绿两种信号显示的时间相等且各信号灯之间相互独立。以?表示该汽车首次遇到