高等数学分章练习题
高等数学分章练习题
第九章 练习一：偏导数与全微分
一．选择与填空题
★★★★★1．f(x,y)在P0(x0,y0)连续是f(x,y)在P0各一阶偏导数存在的
［ ］．
A．必要且非充分条件； B．充分且非必要条件；
C．充分且必要条件； D．既非必要也非充分条件．
★★★★★2．f(x,y)在P0(x0,y0)连续是f(x,y)在P0可微的
［ A．必要且非充分条件； B．充分且非必要条件；
C．充分且必要条件； D．既非必要也非充分条件．
★★★★★3．f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在是它在P0可微的
［ A．必要且非充分条件； B．充分且非必要条件；
C．充分且必要条件； D．既非必要也非充分条件．
★★★★★4．f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数连续是它在P0可微的
［ A．必要且非充分条件； B．充分且非必要条件；
C．充分且必要条件； D．既非必要也非充分条件．
★★★★★5．设z?siny，则?zx?x? ，
?z?y? ． 二．计算题
★★★★★(类型会求偏导数和全微分)
1．设f(x,y)?ln???x?x??y???，试说明此函数在P0(1,1)处可微并求其在P0(1,1)处的全微分． 2．求函数z?sin(xy)?cos2(xy)的一阶偏导数?z?x． 3．已知z?x2y，且x?0，求dz．
4．求函数z?xy?xy的全微分． 5．求函数z?yx2?y2的全微分．
1
］．
］．］．
高等数学分章练习题
第九章 练习二：微分法及其应用
一．选择与填空题
★★★★★1．曲面ez?z?xy?3在点P(2,1,0)处的法线方程是
x?2?2x?2?C．1A．
［ ］．
y?1zx?2?； B．?10?2y?1zx?2?； D．?20?1y?1z?； 10y?1z?． 20?x? ，★★★★★2．设z?z(x,y)由方程x2?2y2?3z2?18确定，则?z★★★★★(类型会求偏导数和全微分)
?z ? ．
?y3．设z?f(x,y)由方程z?x?y?1?ez?x?y?0所确定，dz= ． 二．计算题
★★★★★(类型会求高阶偏导数)1．设z??z?2z?2z有连续的二阶导数，求、及．
?x?x?y?y?xf(xy,x?y)??(x?y)，式中f、?具
xy?2z)?g()，其中f具有连续的二阶偏导数，g二阶可导，求2．设z?f(xy,. yx?x?y?y?x★★★★★3．求曲线 ? 在点P0(1,1,1)处的切线方程和法线方程． 2?z?2x?14．求曲线x?
t1?t,y?,z?t2在对应于t?1的点处的切线及法平面方程． 1?tt?x2?y2?z2?3x5 求曲线?在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.
?2x?4y?6z?46．求球面x?y?z?6与抛物面z?x?y的交线在点(1,1,2)处的切线方程和法平面方程.．
22222★★★★★掌握拉格朗日乘数法求极值
1．在平面x?y?z?1上求一点，使它与两定点P(1,0,1)和Q(2,0,1)的距离平方和为最小. 2．试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小．
3．求函数u?lnx?2lny?3lnz在x?y?z?6,x?0,y?0,z?0上的最大值. 4．从斜边之长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
222
2
高等数学分章练习题
第十章 练习一：二重积分及应用
一．选择与填空题
1. 已知D:x2?y2?1，则
??Dx3sinyd?= .
2. 已知D:x?1,y?2，则二．计算题
??D(1?2xy)d?= .
★★★★★(类型会计算直角坐标下的二重积分)
1．计算
??xdxdy，其中D由曲线y?sinx(0?x??)及x轴围成．
D2 ．求由y?2x?0、2y?x?0、xy?2所围第一象限部分图形的面积；
★(类型会交换积分次序及计算)
3．交换累次积分
?10dx?ex1?y22dy的积分次序并计算积分值．
★★★★★(类型会计算极坐标下的二重积分)
4．化
225．计算抛物面z?x?y与上半球面z??2a20dx?a2?x2xx2?y2dy为极坐标下的累次积分并计算积分值．
2?x2?y2所围立体的体积．
6．利用极坐标计算二重积分第一象限内的闭区域.
7． 利用极坐标计算二重积分
8． 利用极坐标计算二重积分
??Dln(1?x2?y2)d?，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在
??Dex2?y2d?，其中D是由圆周x2?y2?4所围成的闭区域.
??Darctanyd?，其中D是由圆周x2?y2?4,x2?y2?1及直线 xy?0,y?x所围成的在第一象限内的闭区域.
3
高等数学分章练习题
第十章 练习二：三重积分及应用
一．选择与填空题
★★★★★1．
设A．C．
则有 ［ ］． ?:x2?y2?z2?a2(z?0)，?1为?在第一卦限的部分，
????xdv?4???xdv； B．???ydv?4???ydv；
?1??1????zdv?4???zdv； D．???xyzdv?4???xyzdv．
?1??1★★★★★2．???★★★★★3．
二．计算题
(xy2z2?x2yz2?x2y2z)dv? ．
x2?y2?z2?2232z22(?xcosy?xesiny?xyz)dv? ． ???4x2?y2?z2?1★★★★★(类型会用柱面坐标计算三重积分)
1．计算
????x2?y2zdv，其中?由x2?y2?4、z?0及z?3围成．
2． 利用柱面坐标计算三重积分
????(x2?y2)dv, 其中积分区域?由曲面x2?y2?2z及平面
z?2所围成的闭区域.
3．计算三重积分
????zdxdydz, 其中积分区域?由曲面z2?x2?y2及z?2所围成的闭区域.
★★★★★(类型会用直角坐标计算三重积分)
3．计算
4
???xdxdydz，其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域．
?高等数学分章练习题
第十一章 练习一：曲线积分与格林公式
一．选择与填空题
★★★★★1．设L是从点O(0,0,0)经A(1,1,1)到点B(1,1,?1)的折线段，则?Lds? ★★★★★2. 设f(x)是连续函数且f(1)?1，则?x?y?1(x?f(x2?y2))ds? 222 ． ．
3．设L为圆周x2?y2?1, L1为该圆周在第一象限的部分, 则 ［ ］．
A．C．
?Lxds?4?xds； B．?yds?4?yds；
L1LL1?Lx2sinyds?4?x2sinyds； D．?x2cosyds?4?x2cosyds．
L1LL1y22★★★★★4．设曲线L:x??1，且该椭圆的周长为a，则?(2x?y)ds?= ． ?4L2二．计算题
★★★★★类型掌握第一类曲线积分的计算
1．求
22L，其中为圆周x?y?4． (x?y)ds??L22计算曲线积分
?L(x?y)ds，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段．
3．计算曲线积分
??(xL2?y2)1005ds，其中L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)．
★★★★★★(类型掌握格林公式计算第二类曲线积分)
4．求I?22(y?2yx)dx?(x?2x?y)dy，其中L：由A(4,0)沿上半圆周y?4x?x2到点?LO(0,0)．
5．计算
(x?y)dx?(x?y)dy222L，其中为圆周，取顺时针方向． x?y?a222?L(x?y)6．计算曲线积分点(0,0)到点(?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy，其中L为抛物线2x??y2上从
,1)的一段弧．
?27．计算曲线积分
?L(x2?y)dx?(x?sin2y)dy，其中L为圆周y?2x?x2上从点(0,0)到点
(1,1)的一段弧．
8．计算曲线积分
?L (2xey?1)dx?(x2ey?2x)dy，其中L为(x?1)2?y2?9的上半圆周逆时针方向．
5