用分离变量法解常微分方程
重庆师范大学涉外商贸学院 数学与数学应用（师范）2012级3班 邓海飞
指导教师 申治华
摘 要 变量可分离的方程是常微分中一个基本的类型，分离变量法是解决微分方程的初等解法。本文研究了变量分离方程的多种类型和解法，通过适当的变量替换把方程化为变量分离方程，例如齐次方程、线性方程、Riccati方程。并且通过相应的例题具体演绎分离变量法解微分方程。最后本文通过实际例子给出了分离变量在求解常微分方程的具体应用，凸显微分方程与实际问题的密切相关性。 关键词 变量分离；齐次方程；线性方程；常微分方程
微分方程是自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，而自变量仅有一个的微分方程是常微分方程。常微分方程的实质是解方程，即求常微分方程的解。微分方程的类型多种多样，他们的解法也各不相同，但都是把微分方程的求解问题转化成积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
在反映客观现实世界运动规律的量与量之间的关系中，很多实例存在满足常微分方程的数学模型。而我们可以通过求解方程得出未知函数的性质，所以求解常微分方程在生活中特别重要。本文主要研究用分离变量法解常微分方程，很多教材和期刊中都有相应的归纳和总结，本文列出几类可化为分离变量法解常微分方程。
1直接分离变量的微分方程
1.1标准的分离变量方程
形如
dy?f(x)?(y) （1.1） dx的方程，称为变量分离方程，这里f(x)、?(y)分别是x，y的连续函数。
如果?(y)?0，我们可以把（1.1）改写成
dy?f(x)dx dx这样，变量就“分离”开来了，两边同时积分，则有
dy??(y)??f(x)dx?c （1.2）
这里我们把积分常数c明确写出来，而把?dy1f(x)dx，分别理解为，f(x)??(y)?(y)的原函数。常数c的取值必须保证（1.2）有意义。
若y?y0时，使?(y0)?0，则y?y0也是方程（1.1）的解。
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例1 求解方程
dyx? dxy解 将变量分离，可得
ydy?xdx
两边积分，有
y2x2c?? 222所以整理可得通解为
y2?x2?c
这里的c为任意常数。或者解出y，写出显函数形式的解
y??c?x 21.2变量可分离方程的微分形式
形如
M(x)N(y)dx?P(x)Q(y)dy?0 （1.3）
的方程为变量可分离方程的微分形式。
当N(y)，P(x)?0时，方程（1.3）的通积分为
M(x)Q(y)dx??P(x)?N(y)dy?c
当N(y)，P(x)?0时，也是方程的解。 例2求解方程x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0 解 若y2?1?0，x2?1?0，则方程化为
xydx?dy?0 22x?1y?1两边积分并整理可得通解
(x2?1)(y2?1)?c
这里的c为任意常数。
若x2?1?0，y2?1?0，即x??1，y??1也是原方程的解。
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2 可化为分离方程的类型
通过上面的介绍，我们已经了解了什么方程是变量分离方程。下面，我们继续介绍几种可化为变量分离方程的类型。
2.1齐次方程
形如
dyy?f() （2.1） dxx的方程，称为齐次微分方程，这里f(u)是u的连续函数。 作变量变换
u?
y
（2.2） x
得y?ux，于是
dydu?x?u （2.3） dxdx将（2.2）、（2.3）带入（2.1），则原方程变为
dux?u?g(u) dx整理后可得
dug(u)?u? （2.4） dxx方程（2.4）是一个变量分离方程，可按（1.1）的方法求解，然后代回原来的变量，得到（2.4）的解。 例3 求解方程
dyyy??cos （2.5）
dxxxydydu?x?u代入方程（2.5）化为 解 这是齐次微分方程，令u?，则
xdxdxdux?u?u?cosu dx分离变量有
dudx? cosux两边积分
? ln|cosu|?ln|x|?c?是任意常数，整理后则有 这里的ccosu?cx （2.6）
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此时的c??ec?。
此外，如果（2.6）允许c?0，则cosu?0也是（2.5）的解。则方程（2.5）的通解是（2.6），代回原来的变量，得到原方程的通解为
ycos?cx
x或者可以写成显函数解
y?xarccos(cx)
齐次方程可以通过变量代换化为变量分离方程来求解。与此同时，一些线性变量方程一样可以通过变量代换化为变量分离方程，从而用变量分离法解方程。
2.2线性方程
形如
的方程，其中a,b,c为常数。
dudy?a?b，把它们代入方程（2.7）变为 dxdxdu?a?bf(u) （2.8） dx这是一个分离可变量的方程，可用（1.1）的方法求其解。
dy?2x?y 例4 求解方程dxdudy?2?解 令u?2x?y，则，将两者代入原方程得到分离方程 dxdxdu?dx 2?u两边积分
dy?f(ax?by?c) （2.7） dx 作变量代换u?ax?by?c，则
? ln(2?u)?x?c?是任意常数，整理后可得 这里的cu?cex?2
?此时的c?ec，代回原变量得其通解为
y?cex?2x?2
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2.3 线性分式方程
形如
dya1x?b1y?c1 （2.9） ?dxa2x?b2y?c2的方程，也可经变量代换为变量分离方程，这里的a1,a2,b1,b2,c1,c2均为常数。下面分三种情况讨论 （1）
a1b1c1???k（常数）情况 a2b2c2dy?k dx此时方程变为
有通解y?kx?c，其中c为任意常数。
?a1（2）??a2b1?a1b1c1?0，即情况，则 ??k?b2?abc?222a1?ka2，b1?kb2
于是
dyka2x?kb2y?c1k(a2x?b2y)?c1 ??dxa2x?b2y?c2a2x?b2y?c2令u?a2x?b2y，有
dudy?a2?b2，将两者代入上式可得 dxdxku?c1du ?a2?b2dxu?c2是变量可分离方程，接下来根据变量分离的求法易求其通解。
?a1（3）??a2b1?a1b1?0，即?情况 ?b2?a2b2若方程（2.9）中c1，c2至少有一个不为零，方程右端分子，分母全是x，y的一次多项式，那么
?a1x?b1y?c1?0 （2.10） ?ax?by?c?0?222
代表0xy平面上两条相交的直线，设交点为(x0,y0)，如果令
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