重庆铁中高一下期数学培优专题（一）
知识要点梳理 本节公式中，s?a?b?c2,,r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π，
2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b， a－b < c，b－c < a，c－a < b． 3．边与角关系： 正弦定理:
asinA?bsinB?csinC?2R 余弦定理: c2 = a2+b2－2bacosC， b2 = a2+c2－2accosB， a2 = b2+c2－2bccosA． 它们的变形形式有：
a = 2R sinA，sinAsinB?ab，cosA?b2?c2?a22bc．
3）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋b·cosA．
4）面积公式：S??12aha?12absinC?rs?abc4R?s(s?a)(s?b)(s?c) （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形
由A＋B＋C＝π可得出：sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）等 2.常用的恒等式：
（1）sinA＋sinB＋sinC＝4cosA2cosBcosC；
22（2）cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinA2sinBsinC2；
2 1
（3）sinA＋sinB－sinC＝4sin
ABsincosC； 222222（4）cosA＋cosB－cosC＝－1＋4cosAcosBsinC．
3．余弦定理判定法：如果c是三角形的最大边，则有：
a2＋b2＞c2 ? 三角形ABC是锐角三角形 a2＋b2＜c2 ? 三角形ABC是钝角三角形 a2＋b2=c2 ? 三角形ABC是直角三角形
(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。 条件 角角边 边边角 边边边 边角边 适用定理 正弦定理 正弦定理或余弦定理 余弦定理 余弦定理 其中“边边角”（abA）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数： A<90° A≥90° ab a≤b a>bsinA a=bsinA a b，且A=60, a?6, b?4，那么满足条（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、件的?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 ?a?b?c（2）在?ABC中，A=60°,b=1,面积为3，则= . sinA?sinB?sinC（3）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____ a,b分,别是角A、B、C所对的边，若 (a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝____ a2?b2?c2（5）在?ABC中，若其面积S?，则?C= . 431??83?60答案：（1）C；（2）（3）（4）（5）30； 23?（6）在?ABC中，A?60, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直 (4)在?ABC中，径是_______ a?3,cosA?（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边， 1B?C,则cos2= ，32b2?c2的最大值为 （8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 2 （9）设O是锐角三角形ABC的外心，若?C面积满足关系式S?AOB ?75?，且?AOB,?BOC,?COA的 ?S?BOC?3S?COA，求?A． 19??239;0?C?答案：（6）；（7）；（8）；（9）45； 3263 例题精讲： 例1. 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45? 。求A、C及c 3sin45?2?3 2asinBsinA??解法一：由正弦定理得： b∵B=45?<90? 即b bsinC2sin75?6?2??当A=60?时，C=75?， c? ?sinB2sin45bsinC2sin15?6?2c???当A=120?时，C=15?， ?sinB2sin45解法二：设c=x由余弦定理 b将已知条件代入，整理：x22?a2?c2?2accosB 6?2, 2?6x?1?0，解之：x?222(1)当c?6?22)?36?2b?c?a1?3?2??? 时cosA?2bc26?22(3?1)22?2?22?( 从而A=60? ，C=75? (2)当c?6?2时同理可求得：A=120? ，C=15? 2例2.已知三角形的一个角为60°，面积为103cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长. 解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得 3 ?a2?c2?b2?cos60??2ac??1??acsin60??103?2?a?b?c?20???a?b?c?20?2??b?a2?c2?ac ?ac?40?① ② ③ 由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④? 将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0? 再将③代入得a＋c＝13? ?a1?5?a2?8?a?c?13解得?或?由? ∴b1＝7，b2＝7? ac?40c?8c?5??1?2所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ。 例3. △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.已知tanA+tanB+3=tanA·tanB·3， 733(1)求∠C的大小；(2)若c=，△ABC的面积S△ABC=，求a+b的值. 22tanA?tanB解析；(1)tanC=－tan(A+B)=－ 1?tanA?tanB=－ 3?(tanA?tanB?1)=3. ∵0°＜C＜180°，∴C=60°. 1?tanA?tanB (2)由c= 73371及余弦定理，得a2+b2－2abcos60°=()2.又由S△ABC=absin60°=， 2222 49?211a?b2?ab?,2121?整理得?(a+b)=，即a+b=. 4∴ 24??ab?6. 例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长。 解析：设BC边为ｘ，则由D为BC中点， x可得BD＝DC＝， 2 4 x42?()2?52AD?BD?AB2?, 在△ADB中，cosADB＝ x2?AD?BD2?4?2222x224?()?32222AD?DC?AC2?. 在△ADC中，cosADC＝ x2?AD?DC2?4?2又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC。? xx42?()2?5242?()2?3222??∴ xx2?4?2?4?22解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2。 例5. 在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。? 解析：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2， 其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则? x?2xx?2x?2?cos?? ,---① ??2xsin?sin2?2sin??cos?又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα----?② 将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0? 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6 例6.如图，在△ABC中，AC?2，BC?1，cosC?（1）求AB的值； （2）求sin?2A?C?的值. 解析；（Ⅰ） 由余弦定理， 22 AB?AC?2BC?23． 4A.C.BcCos C ?4?1?2?2?1?34? 2 . 那么，AB?2. （Ⅱ）解：由cosC?732sinC?1?cosC?.由正弦定理， ，且0?C??,得 445