洪湖二中2013届高三文科数学滚动训练卷（二十六）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A={x||x－1|≤2}，B={x|x2－4x>0，x∈R}，则A∩（CRB）=
( )
A. [－1，3]
B. [0，3]
C. [－1，4]
D. [0，4]
2. i为虚数单位，如果z=a2+2a－3+(a2－4a+3)i为纯虚数，那么实数a的值为
( )
A. 1
B. 3或－1
C. －3 D. 1或－3 3. 函数f (x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为
( )
A. （1，
32） B. （
32，2） C. （2，e）
D. (e，+∞)
4. 等差数列{an}的前n项和为Sn . 已知a5=8，S3=6，则a9=
( )
A. 8
B. 12
C. 16 D. 24 5. 抛物线y=4x2的准线方程为
( )
A. y??116
B. x??116
C. y?116
D. x?116 6. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为43，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )
A. 4 B. 43
C. 8
D. 83 第6题图
7. 从1，2，3，4四个数字中任取两个数求和，则和恰为偶数的概率是
( )
A.
23 B.
25 C.
12 D.
13 8. 将函数y=cos(x－
5?6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移?3个单位，则所得函数图象对应的解析式是
( )
A. y=cos
112x B. y=cos(2x－
?6) C. y=sin(2x－
?6) D. y=sin(
2x－?6) 9. 某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是 ( )
A. i>6?
B. i>7?
C. i≥6？
D. i≥5?
10. 对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总有 |1－
g(x)f(x)|≤110，则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)=x x∈[4，16]的是
( )
A. g(x)=2x+6 x∈[4，16]
B. g(x)=x2+9 x∈[4，16] C. g(x)=
1(x+8) x∈[4，16]
D. g(x)=
135(x+6) x∈[4，16] 第9题图
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上，答错位
置、书写不清、模棱两可均不得分.
11. 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本 的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数为_________， 众数为_________。
12. 学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从
第11题图
高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：
相关学生 抽取人数 高一学生 56 b 高二学生 a 3 高三学生 35 5 则抽取的总人数为_________.
13. 设双曲线4x2－y2=1的两条渐近线与直线x?22围成的三角形区域（包括边界）为E， P（x, y）为该区域内的一动点，则目标函数z=x－2y的最小值为________.
14. 若不等式|x－a|<3成立的一个充分条件是0 15. 海中有一小岛，周围42n mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6 n mile 以后，望见这岛在北偏东30°. 如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile后海轮会触礁. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l：x+y－4=0，点B(x,y)是圆C：x2+y2-2x-1=0上的动点， AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是________. 17. 在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j=2j1，ai，1=i，ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j (i, j∈N*)； － (1)若t = 13，求{?1}是等比数列，并求出{an}的通项公式； an5 (2)若an+1>an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围. 又记第3行的数3，5，8，13，22，39……为数列{bn}，则 (1)此数表中的第2行第8列的数为_________. (2)数列{bn}的通项公式为_________. 三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 第17题图 18. (本小题满分12分) 已知在锐角△ABC中，a, b, c分别为角A、B、C所对的边，向量?m??(cosA,sinA)，?n?(cosB,sinB)， ?m???n?3sinB?cosC. (1)求角A的大小； (2)若a=3，求△ABC面积的最大值. 19. (本小题满分12分) 如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4. 将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求证：AB⊥DE； (2)求三棱锥E—ABD的侧面积. 第19题图 20. (本小题满分13分) 已知数列{an}的首项aa1= t >0，a3nn?1?2a，n=1，2，…… n?1 21. (本小题满分14分) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为 22，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为22，过点M（0，?13）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点. (1)求椭圆的方程； (2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说 明理由. 22. (本小题满分14分) 已知函数f (x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b. (1)当b=0时，若对?x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围； (2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2))，其中x1>0. ①求证：x1>1>x2； ②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe ?x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围. 洪湖二中2013届高三文科数学滚动训练卷（二十五）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A B D D A D 二、填空题 11. 45；45 12. 16 13. ?322 14. [1，3] 15. 3?5 16. 52－ 2 17. 129；bn=2n1+n+1 三、解答题 18. 解：(1) ?m???n?cosAcosB?sinAsinB 又?m???n?3sinB?cos(A?B)?3sinB?cosAcosB?sinAsinB…… (2分) ∴3sinB?2sinBsinA，sinA= 32…………………………………………(4分) 又A为锐角，∴A=?3……………………………………………………………(6分) (2) a2=b2+c2－2bcosA ∴b2+c2－bc=9≥bc ∴S= 12bcsinA=34bc≤934………………………(10分) 故△ABC面积的最大值为934…………………………………………………(12分) 19. (1) 证明 在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60° ∴BD=AB2?AD2?2AB?ADcos?DAB?23. ∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. 又∵DE?平面EBC，∴AB⊥DE. …………………………(5分) (2)解：由(1)知AB⊥BD. ∵CD∥AB ∴CD⊥BD，从而DE⊥BD 在Rt△DBE中, ∵DB=23，DE=DC=AB=2， ∴S△DBE= 12DB?DE?23.……………………………………………………(7分) 又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4，S1△ABE= 2AB·BE=4………………………………………(9分) ∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD， 而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S1△ADE= 2AD·DE=4. ………………(11分) 综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+23……………………………… (12分) 20. 解：(1)由题意a13a?11n>0， a?n，?12n?13anaa? n3n3 1a?1?11123(a?1)，?1?…………………………………………………(4分) n?1na13 所以数列{ 1a?1}是首项为2，公比为13的等比数列……………………………(5分) n3 1a?1?(5?1)(13)n?1?23n3n，an?3n?2………………………………………(7分) n?13 (2)由(1)知 1a?1?1(1?1)，1a?1?(1?1)(1)n?1……………………………(9分) n?13annt3 由a3a1>0，an+1= n2a知a11n>0，故an+1>an得?………………………(10分) n?1anan?1 即(113)n+1<(1t－1) (13)n?1t－1)( +1得1t－1>0 又t>0 则0 22，又2a=22，∴a=2，c=1 故b=1，故椭圆的方程为x22?y2?1………………………………………………(4分) 1 (2)设l的方程为y=kx－ 31?y?kx??416?3 由?2得(2k2+1)x2－kx－=0 39?x?y2?1??2 设P(x1, y1)，Q(x2, y2) exex(x?1)ex 因为()= 故y?在（0，1）上减，（1，+∞）增 xx2xex ∴（）min=e xlnx1?lnxlnx 又( 故在（0，e）上减，（e，+∞）增 )?y?xx2xlnx11 ∴()max? 即k的取值范围是[，e] xee (2)由题知：h(x)即为y－e1= e1(x－x1)即y=e1·x+ e1－x1 e1 xxxxx 则x4k1+x2= 3(2k2?1) x1·x2=?169(2k2?1)……………………………………(8分) 假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则 ???????? NP?(x1,y1?m) NQ?(x2,y2?m) ???NP?·???NQ?= x1x2+(y1－m)(y2－m)= x1x2+ y1y2－m(y1+y2) +m2 = x11x2+(kx1－ 3)( kx1112－3)－m(kx1－3+ kx2－3) +m2 =(k2+1) x1211x2－k( 3+m)(x1+x2)+m2+3m+9 =?16 9(2k2?1)－k(14k2213+m)3(2k2?1)+m+3m+9 =18(m2?1)k2?(9m2?6m?15)9(2k2?1)…………………………………(12分) 由假设得对于任意的k∈R，???NP?·???NQ?=0恒成立 即???m2?1?0?9m2?6m?15?0解得m=1 ? 因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1) …………………………………………………………………………………………(14分) 22. 解：(1)依题意对?x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立 ∞）均有ex 即对任意?x∈（0，+lnx x≥k≥x成立…………………………………(1分) ∴(exlnxx)min≥k≥(x)max 也为y=lnx12= x(x?x12)即y=x+lnx2－1 2x2? ∴?ex1?1?x2………………………………………………(6分) ??ex1?x1ex1?lnx2?1 又x1=0 ∴ex1>1 即 1x>1?x1>1 2 即x1>1>x2………………………………………………………………(8分) (3)令F(x)=ax2－x+xe?x+1(x≥x1) ∴F′(x)= －1－xe ?x+e ?x=－1+e ?x(1－x)( x≥x1) 又 x≥x1>1 F′(x)= －1－xe?x+e?x=－1+e?x(1－x)<0 即F(x)=ax2－x+xe ?x+1(x≥x1)单减 所以只要F(x)≤F(x1)= ax2－x1+1xe ?x1+1≤0 即a+ x1－x1ex1+ ex1≤0………………………………………………(12分) ? 由?ex1?1?x2 ??ex1?x1ex1?lnx2?1 ∴??x1??lnx2?ex1?x1ex1?lnx 2?1 即x?xxx11e1?e1??1 故只要a?xx1?x1e1?ex1?a?1≤0得： a≤1 综上，实数a的取值范围是（－∞，1] ……………………………(14分)