第16课时 《一次函数》
◆知识讲解：1．正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2．正比例函数的图像：正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．
3．一次函数的定义：如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数． 4．一次函数的图像： 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－
bk移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－
bk2，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形
面积为S△=12│－b│2│b│．
k◆经典例题 ：例1 （2006，江西省）已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．（1）求直线L1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值． 例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：
（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？
（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．
例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t，柚子12t，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t和柚子1t，乙种货车可装西瓜，柚子各2t．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，?则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？
◆强化训练：一、填空题
1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过
，0）就行了．
5．一次函数的图像与性质：直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b经过第二，三，四象限．
6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积
一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平
1
点P（a，b），Q（c，d），?则a（c－d）－b（c－d）的值为______． 2．（2005，重庆市）直线y=－
43的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上
x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB
还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______． 二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（ ）
上的一点，?若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．
3．（2006，白云区）关于x的一次函数y=（a－3）x+2a－5的图像与y轴的交点不在x?轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．
4．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，?请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．
5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．
6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a中，y随x的增大而增大，且它的图像与y轴交于正半轴，则│a－1│+a=______． 7．（2005，四川省）如果记y=
x222
10．（05杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限 D．第一，三，四象限 11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，?这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（ ）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h
12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（ ）
1?x=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即
12()1111112f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==；如果212522221?11?()2111f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+?+f（n）+f（）=______．
23n2（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点
2
13．（06，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，?乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的（）
A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇 D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，?出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（ ）
(a) (b) (c) A．①③ B．②③ C．③ D．①②③
16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，?以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（ ）
三、解答题：17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表
15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（?至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（ ）
达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18．（08，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y?与x之间
3
的函数关系．根据图像进行以下探究： 信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为___km（2）请解释图中点B的实际意义．图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 问题解决:（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．?在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，?求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
19．（2005，?黑龙江省）?某企业有甲，?乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以6m3/h的速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：（1）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池的蓄水池相同．
20．（2005，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，?各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为
1.5km，相遇后甲，?乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚
4
的距离是多少千米？
21．（2005，长春市）如图a所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=
34x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向
以每秒1?单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14s．（1）求矩形ABCD的周长．（2）如图b所示，图形运动到第5s时，求点P的坐标；（3）设矩形运动的时间为t．当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，?请求出线段所在直线的函数关系式；（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
22．（2006，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2L，?
他们先同时打开两个放水龙头，后来故故障关闭一个放水龙头，假设前后两个接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（L）与接水时间x（min）的函数图像如图所
示．请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3min”．?
你说可能吗？请说明理由．
第16课时 《一次函数》（答案）
◆经典例题： 例1 （2006，江西省）已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．（1）求直线L1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x，y的两组对应值，?可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k，b的值．【解答】（1）设直线L的解析式为y=kx+b，由题意得
??k?b?0,解得?k?1,所以，直线
???2k?b?3.?b?1.?5??71?k?1??15k1?b1110110?9解得?∴yAB=x+当y=6时，有：6=x+，解得x=24．
9393?33k1?b1?b?101?3?∴比赛进行到24min时，两人第一次相遇．（2）设yOD=kx，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=
14∴yOD=
14x当x=48时，yOD=
14348=12∴比赛全程为12km．
?33k2?b2??12?43k2?b2?7（3）当33≤x≤43时，设yBC=k2x+b2，将（33，7）和（43，12）代入得：
L1的解析式为y=x+1．（2）当点P在点A
12的右侧时，AP=m－（－1）=m+1，有S△APC=
3（m+1）33=3．解得m=1，此时
解得?k点P的坐标为（1，0）； 当点P在点A的左侧时，AP=－1－m，有S=3（－m－1）33=3，解得m=－3，此时，点P的坐标为（－3，0）．综上所述，m的值为1或－3． 【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．
例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y随时间x变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB段，故求出15≤x≤33时的函数关系式；欲求出比赛全
程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，?即先求甲在BC段的函数关系式，再求出BC和OD的交点坐标即可． 【解答】（1）当15≤x≤33时，设yAB=k1x+b1，将（15，5）与（33，7）代入得：
5
2??2??b??192??2?1∴yBC=
12x－
192∴?y??2??y?1x??4?1x?192解得??x?38?19?y??2∴比赛进行到
38min时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．
例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t，柚子12t，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t和柚子1t，乙种货车可装西瓜，柚子各2t．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，?则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？
【解答】（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车为（10－x）辆，依题意，得
?4x?2(10?x)?31
??x?2(10?x)?12解这个不等式组，得5.5≤x≤8．∵x是整数，∴x可取6，7，8． 即
安排甲，乙两种货车有三种方案：①甲种货车6辆，乙种货车4辆②甲种货车7辆，乙种货车3辆③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y元，则y=1800x+1200（10－x）=600x+12000． ∴当x取6时，运费最少，最少运费是：15600元．