例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于
22a．
证：如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．
AA2?22a，又AE?A2E3 EE3?AA2?22a
?EF?FG?GH?HE?EF?FG1?G1H2?H2E3≥EE3?AA2?22a
例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形． 已知：如图5．四边形ABCD中，M，F，N，E分别为各边的中点，且MN，EF为它的对称轴．
求证：ABCD是矩形．
分析：欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．
证：∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF， ∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB． 又∵DE?DCAB，AF?．∴DEAF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，22∠D＝90．∴ABCD是矩形．
- 6 -
轴对称应用举例
生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明． 一、确定方向
例1 如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后 解：作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为所求．
例2 如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙 解：作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC 二、确定点的位置找最小值
例3 如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ,使得BE+DE最小． 解：作点B关于AC的对称点B′,连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点．
发，乙车行驶的速车行驶的方向？ 方向行驶即可． 分别位于E、F两点再击中白球F ？ 即为撞击点，点P
例4 如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小． 解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．
用轴对称解实际问题
在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.
例1 要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？
分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB
- 7 -
化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．
图1 图2
例2 如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？
分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．
例3 如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置． （1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？ （2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？
图3
分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．
解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．
图4 图5
（2）如图5，作法类似（1）．
例4 如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件： （1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？
（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？
- 8 -
图5 图6 图7
解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等． （2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．
最 短 线 路 问 题
一、两点一线问题
例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?
分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连于点P，则P点即为所求作的点．
作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；
⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B． ∴点P就是所要求的点．
说明：本题黑球A，白球B在MN的同侧，直接确定撞易，但若A、B在MN的异侧，击球路线就容易确定了．本题征将A点转化到MN的另一侧，设为A’，连接A’B即可确定
M B B P N A 击点的位置不容可利用轴对称的特撞击点．
M P 图1
N A B 反弹击中白球结A’B交MN
A’ 二、一点两线问题 图 2 例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛
（如图3），岸与小岛
小岛
有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才时间最短(假设速度一定)?
观测点
样点．水利部门在岸取样点取样，然后带能使得每天取样所用 分析：此题要求
图3
- 9 -
时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D为BC边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线
段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．
解析：如图4，作点D关于AB的对称点F；点D关G， 连接FG，交AB于M，交AC于N．
∴D、M、N即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．
三、同类变式
B D E 图4
C F M A N 于AC的对称点G 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO，BO），AO桌面上摆满了糖果，BO桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？
分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论： ①∠AOB小于90°；②∠AOB等于90°。 A C B
图5
B 图6
E 图7
B
O A C D O A F O G C 解析：①如图6，∠AOB小于90°
1．作点C关于AO的对称点D，作点C关于BO的对称点E； 2．连接DE交AO于F，交BO于G； 则小亮的行走路线为C F G C
②如图7，∠AOB等于90°，此时从点C沿直线走到O处，再直线返回C处． 四、拓展引申
例4 如图8所示，甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：桥建在何处才能使甲到乙的路线最短？（桥必须与街道垂直）
- 10 -
A 甲 桥 封闭街道 图8 乙
B