第一篇 力学 第一章 运动的描述
一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）
1．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S?5?4t?t（SI），则小球运动到最高点的时刻应是
（A）t?4s （C）t
（B）t?2s （D）t2?8s ?5s
[ B ]
解：小球运动速度大小
ds?4?2t。 dt当小球运动到最高点时v=0，即 4?2t?0，t=2（s）。
v? 故选 B
2．质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小应为（其中v表示任意时刻质点的速率）
（A）
dv dt
??dv?2?v4??（B）??????2?????R????dt??v2（D）
R12
dvv2（C） ?dtR
[ B ]
2dvv解：质点作圆周运动时，切向加速度和法向加速度分别为 at?， ,an?dtR所以加速度大小为：a?
at?an22??dv?2?v2?2???????????dtR????????12。 故选 B
3．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，某一段时间内的平均速度为v，平均速率为v，它们之间关系正确的有
（A）（C）
???v?v,?v?v,?v?v ?v?v
（B）（D）
?v?v,?v?v,?v?v ?v?v
[ D ]
?ds???dr解：根据定义，瞬时速度为v?，瞬时速率为v?，由于dr?ds，所以v?v。
dtdt??s????r平均速度v?，平均速率v?，而一般情况下?r??s，所以v?v。 故选 D
?t?t
1
4．某物体的运动规律为
dv??kv2t，式中k为大于零的常数。当t＝0时，初速为v0，则dt12kt?v0 2速度v与t的函数关系应是
（A）v?12kt?v0 2 （B）v??1kt21?（C）?
v2v0
1kt21?（D）??
v2v0[ C ]
vtdvdv2??ktdt 解：将??kvt分离变量并积分可得：?2?v00vdt111111。 ??kt2,?kt2?vv02v2v0
?1故选 C
5．在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m?s的速率匀速行使，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x、y方向单位矢量用i、j表示），那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m?s为单位）为
?1????（A）2i?2j
（C）?2i?2j
??（B）?2i?2j
（D）2i?2j
[ B ]
????????v?2j，根据相v?2i解：由题意知：A船相对于地的速度A?地，B船相对于地的速度B?地对运动速度公式，B船相对于A船的速度为
???????vB?A?vB?地?v地?A?vB?地?vA?地??2i?2j。
故选 B
6．一刚体绕z轴以每分种60转作匀速转动。设某时刻刚体上一点P的位置矢量为
????r?3i?4j?5k，其单位为“10?2m”，若以“10?2m?s?1”为速度单位，则该时刻P
????（A）v?94.2i?125.6j?157.0k
（B）v??25.1i?18.8j
点的速度为：
??????（C）v?25.1i?18.8j
??（D）v?31.4k
[ B ]
?60?2???1解：刚体绕z轴转动的角速度大小为???6.28(s)，写成矢量式??6.28k
60根据质点的线速度与角速度的关系，P点的速度为
2
?????????v???r?6.28k?3i?4j?5k??25.1i?18.8j。
?? 故选 B
二、填空题：
1．一质点的运动方程为x?6t?t(SI)，则在t由0至4 s的时间间隔内，质点的位移大小为 8 m ，在t由0到4 s的时间间隔内质点走过的路程为 10 m 。 解：由运动方程可知：质点作直线运动，t=0及t=4 s时刻的坐标分别为
2x0?0,x4?6?4?42?8
所以质点在此时间间隔内位移的大小为
?x?x4?x0?8 （m） 又质点的运动速度v?dx?6?2t，可见质点做变速运动。 dt又因t=3 s时，v=0；t<3 s时，v>0；t>3s时，v<0。所以质点在0~3 s间向x轴正方向运动，3~4 s间向x轴反方向运动，故在0~4 s时间间隔内，质点走过的路程为
S?x3?x0?x4?x3?6?3?32?6?4?42?6?3?32
2．r ?9?1?10??(m)
????t?与r?t??t?为某质点在不同时刻的位置矢量，试在图（a）中画出?r、?r，图（b）
?Av?t??中画出?v、?v。
A ??r
?r? r?t?B? r?t??t?
图（a）
oo
?v图（b）
B??v?v?t??t??解：据定义，位移?r?r?t??t??r?t?，而?r?r?t??t??r?t?。
速度增量?v?v?t??t??v?t?，速率增量?v?v?t??t??v?t?。 它们的表示分别如上图（a）、（b）所示。
3．距河岸（看成直线）500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n?1r/min转动，当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率v? 69.8 m/s 。
解：以河岸为x轴，船离原点距离l=500 m，则探照灯光束照在岸上 的坐标为x?l?tg?，其中?角为光束和船与原点连线之间的夹角。
3
?????????于是光束沿岸边移动的速度大小为
dx1d??， v??l??ldtcos2?dtcos2?当光束与岸边成60°角时，??30
?Olx60?x??v?500?1cos230??2??1船?69.8(m?s?1) 60
4．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速?度v的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。则物体在A点的切向加速度大小at＝ -g/2 ，
223v/(3g) 。 轨道的曲率半径??
Aatg?v300an
解：抛体运动的加速度大小为g，方向向下。由矢量分解得：
切向加速度的大小为 at??gcos60???g2 法向加速度的大小为 an?v2??gcos30??3g 2v223v2?所以轨道的曲率半径 ?? an3g
5．有一水平飞行的飞机，速度为v0，在飞机上以水平速度v向前发射一颗炮弹，略去空气阻力并设发炮过程不影响飞机的速度，则
??y?（1）以地球为参照系，炮弹的轨迹方程为
g2?v?v0?2x2 。
y?（2）以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程为
g2x22v 。
解：（1）以地球为参考系，以飞机飞行方向为x轴，竖直向下为y轴；以发炮时为计时起点，
该时刻飞机的位置为坐标原点，则炮弹的运动方程为
?x??v?v0?t? ?12y?gt??2 4
消去时间参数t，得炮弹的轨迹方程
y?g2?v?v0?2x2
（2）以飞机为参考系，坐标轴和计时起点的选择同（1），则炮弹的运动方程为
?x?vt??12 y?gt?2?消去时间参数t，得炮弹的轨迹方程
6．半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad?s-2的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点
?20.15m?s在飞轮转过240°时的切向加速度的大小at＝ ，法向加速度的大小?21.26m?san＝ 。
y?g2x 2v2解：飞轮边缘一点的切向加速度大小为
at?r??0.3?0.5?0.15??m?s?
?22设飞轮转过240时的角速度为?，由?2??02?2??,?0?0，得??2?? 此时飞轮边缘一点的法向加速度大小为
an?r?2?r2???0.3?2?0.5?240?2??1.26360?m?s?
?2
三、计算题： 1．一个人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向正西北走18 m。求在这50 s内，
y(北)（1）平均速度的大小和方向，
（2）平均速率的大小。 解：建立如图坐标系。
（1） 50 s内人的位移为
C（西）O??4(南)Ax(东)??r?OA?AB?BC
???????30i?10j?18cos45?i?j?
???17.27i?2.73j则50 s内平均速度的大小为：
B??r17.272?2.732?v???0.35?t50(m?s?1)
方向为与x轴的正向夹角：
5