12、、进位计数制是利用固定的数字符号和统一的规则来计数的方法，简称进制，对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的书运算时逢X进一位，如十进制数
321(10)?3?10??2?101?1?100，记作：321(10),
七进制数321(7)?3?7??2?71?1?70,记作321(7)各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成进制，只要将七进制的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，例如：
321(7)?3?7??2?71?1?70?147?14?1?162,即321(7)?162（10）将十进制数化为其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可，如：
?162(10)?321(7) ?5(10)?101(2) （1）根据以上信息进行进制转化：
①将七进制数转化成十进制数：25(7)? ②将十进制数转化成2进制数：17(10)? （2）已知x+y=6（x，y为正整数）是否存在由一个十进制两位数xy，使得该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，若存在，请求出这个十进制两位数，若不存在，请说明理由。
6
13.阅读下列材料，解决后面两个问题
我们可以将任意三位数表示为abc（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a?0）.显然，abc?100a?10b?c；我们把形如xyz和zyx的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。
（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和 （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。
14．对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）=这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=T（4，2）=1． （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组
15.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们称p×q是n的
恰好有3个整数解，求p的取值范围．
（其中a，b均为非零常数），
，已知T（1，﹣1）=﹣2，
F(n)?最佳分解.并规定：
p.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，q3. 4所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)?（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)?1；
7
（2）如果一个量为正整数t，t?10x?y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新书减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.
16、如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”。如：2?13???1?，26?33?13，所以2、26均为“麻辣数”。 【立方差公式a3?b3??a?b??a2?ab?b2?】
（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k?1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程。 16、
若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数. 如22，797，
312321都是对称数，最小的对称数是11,但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.
（1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；
（2）设一个三位对称数为aba（ a?b?10），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.
______ 8