第八章 空间解析几何与向量代数
1．自点P0?x0,y0,z0?分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 解：按作图规则作出空间直角坐 z 标系，作出如图平行六面体。
C E?0,y0,z0? P0D?xoy平面，垂足D的坐标为?x0,y0,0?；
F?x0,0,z0? P0?x0,y0,z0? y A D?x0,y0,0? x P0E?yoz平面，垂足E的坐标 O B 为?0,y0,z0?；
P0F?zox平面，垂足F的坐标为?x0,0,z0?；
垂足A的坐标为?x0,0,0?；P0B?y轴，垂足B的坐标为?0,y0,0?； P0A?x轴，
P0C?z轴，垂足C的坐标为?0,0,z0?。
2．在yoz平面上，求与三点A?3,1,2?、B?4,?2,?2?和C?0,5,1?等距离的点。 解：设所求点为P?0,y,z?, 则
22|PA|2?32??y?1???z?2?， |PB|2?42??y?2?2??z?2?2，
22|PC|2??y?5???z?1?。
由于P与A、B、C三点等距，故|PA|2?|PB|2?|PC|2，
22222??3??y?1???z?2???y?5???z?1?于是有：?， 解此方程组，得y?1，22222??4??y?2???z?2???y?5???z?1?z??2，故所求的点为P?0,1,?2?。
3．已知M12,2,2，M2?1,3,0?，求M1M2的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知：M1M2?1?2,3?2,0?2??1,1,?2, 则 M1M2?????????1?2?12???2?2?2,
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112???，cos??，cos??? cos，
222于是，??2??3?，??，??。 3344．已知a??3,5,?1?，b??2,2,3?，c??4,?1,?3?，求下列各向量的坐标： (1)2a；(2)a?b?c；(3)2a?3b?4c；(4)ma?nb.
解：(1) 2a??6,10,?2?；(2)a?b?c??1,8,5?；(3)2a?3b?4c??16,0,?23?； (4)ma?nb??3m?2n,5m?2n,?m?3n?.
5．设向量的方向余弦分别满足(1)cos??0；(2)cos??1；(3)cos??cos??0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解：(1)cos??0，向量与x轴的夹角为平面；
(2)cos??1，向量与y轴的夹角为0，则向量与y轴同向；
(3)cos??cos??0，则向量既垂直于x轴，又垂直于y轴，即向量垂直于xoy面。
6．分别求出向量a?i?j?k，b?2i?3j?5k及c??2i?j?2k的模，并分别用单位向量a?，b?，c?表示向量a，b，c。
解：a?3a?，b?38b?，|b|?22?32?52?38，|a|?12?12?12?3，
|c|??，则向量与x轴垂直或平行于yoz2??2?2???1?2?22?3，c?3c?。
7．设m?3i?5j?8k，n?2i?4j?7k和p?5i?j?4k，求向量
a?4m?3n?p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。
解：a?43i?5j?8k?32i?4j?7k?5i?j?4k?13i?7j?15k 故a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j。 8．在xoz坐标面上求一与已知向量a???2,3,4?垂直的向量。
?????? 2
解：设所求向量为b??x0,0,z0?，由题意， a?b??2x0?4z0?0
取z0?1，得x0?2，故b??2,0,1?与a垂直。当然任一不为零的数?与b的乘积?b也垂直a。
9．求以A?1,2,3?，B?3,4,5?，C??1,?2,7?为顶点的三角形的面积S。 解：由向量的定义，可知三角形的面积为S?1AB?AC，因为AB??2,2,2?，2AC???2,?4,4?，所以
iAB?AC?2j2k2??16,?12,?4?，
?2?44ijk1于是， S?2222?2?44?122162???2????4??269. 210．求与向量a??2,0,1?，b??1,?1,2?都垂直的单位向量。 解：由向量积的定义可各，若a?b?c，则c同时垂直于a和b，且
ic?a?b?21j0k1?i?3j?2k，
?12因此，与c?a?b平行的单位向量有两个：
c??c|c|?1a?b|a?b|?i?3j?2k1???3????2?222?1?i?3j?2k?和
14?c????i?3j?2k?. 1411．设三向量a，b，c满足a?b?b?c?b?a?0，试证三向量a，b，c共面。
证：由a?b?b?c?c?a?0,有
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a?b??b?c?c?a. 两边与c作数量积，得
???a,b,c????b,c,c???c,a,c?.
由于?b,c,c??0，?c,a,c??0，所以?a,b,c??0，从而a，b，c共面。
12．将xoz坐标面上的抛物线z2?5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为?y?z?22??5x，即y22?z2?5x。
13．画出下列各方程所表示的曲面：
x2z2a???a?2??1；(3)z?2?x2。 (1)?x???y???；(2)942???2? z y a/2 z 2 o 3 x (2) 22y x (1) z O y 2
x （3） 14．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)x?2；(2)y?x?1；(3)x2?y2?4；(4)x2?y2?1。
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方程 在平面解几中表示 平行于在空间解几中表示 与x?2 y轴的一直线 y轴截距为1的直线 yoz平面平行且过?2,0,0?的平面 y?x?1 斜率为1，在平行于z轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面 以过z轴的直线为轴，半径为2的圆柱面 母线平行于z轴的双曲柱面 x2?y2?4 圆心在原点，半径为2的圆 双曲线 x2?y2?1 15．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
y22?z2?1；(2)?z?a??x2?y2。 (1)x?42y2?1，绕y轴旋转一周或是yoz坐标解：(1)由xoy坐标面上的双曲线x?42y2?z2?1，绕y轴旋转一周得到。 面上的双曲线?42(2)是yoz坐标面上关于z轴对称的一对相交直线?z?a??y2，即z?y?a和
z??y?a中之一条绕z轴旋转一周；或是xoz坐标上关于z轴对称的一对相交直
线?z?a??x2，即z?x?a和z??x?a中之一条，绕z轴旋转一周。
216．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？
?x2y2?y?5x?1?1?? (1)?；(2)?4. 9y?2x?3??y?3?解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；
(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示
x2y2??1与其切平面y?3的交线。 椭圆柱面49222??2x?y?z?1617．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?2的柱面方22??x?z?y?0 5