数论相关题目
第一章 整数的整除性 1.1 整除 1.整数
（1）自然数、正整数、非负整数、整数等的表示方法
（2）字母表示数字的方法：字母相乘时如何表示，以字母表示多位数如何表示
1．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，把个位数字与十位数字交换位置后得到一个新的两位数。原数与新数相加的和是121，求这个两位数。
2．一个三位数，个位上的数字是5，如果将个位上的数字移到第一位数字前面时，所得的新数比原数大288，原数是多少？
3．由3个不同的数字（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是多少？
4．有一个四位数，各位上的数字各不相同，它和它的反序数（所谓反序数就是将原来的数字顺序倒过来排列，例如1234的反序数是4321）之和是一个五位数，且这个五位数
的数字排列是以当中的数字为对称的，这样的四位数最大可以是多少？
5．已知算式ABCD?EFGH?1994，其中ABCD、EFGH均为四位数；A、B、C、D、E、F、G、H是0、1、2?9中的8个不同整数，且A?0、E?0。那么ABCD与EFGH之和的最大值是多少？最小值是多少？ 6．七位数abcdefgh中，不同的字母分别代表0~9中不同的数字。已知abcd－efg=8721，abcd+efg=10183，这个七位数是多少？
7．两位数ab中，数字a比数字b大2，ab+ba的和是88，ab是多少？
8．用1、2、3、4、5、6、7七个数字组成三个两位数，一个一位数。已知这4个数的各个数位上的数字都不相同，并且4个数的和等于100。如果要求其中最大的两位数尽可能大，那么这个最大的两位数是多少？ 9．一个三位数，个位上的数字是5.如果将个位上的数字移到第一位数字前面时，所得的新数比原数大288，原数是多少？
10．abcd是四位数，a，b，c，d均代表0、1、2、3中的某个数字，且各不相同。那么，满
足关系a
12．一个多位数的个位是8，将个位8移到这个数的前位，其它数字顺次往后移一位，得到一个新的多位数，它是原数的8倍，则原数最小应是多少？
13．一个六位数，最高位是1，将它移到最右边，得到的新的六位数是原来六位数的3倍，求原来的六位数是多少？ 2.整除
（1）整除定义（非显然约数） 定理1.1.1
结论（1）~（9）
定理1.1.2 带余除法定理
推论 当a=bq+r，0?r?b时，ba?r=0 例题1 若N?2?2?2?2?2?2，则9N 例题2 已知n?N且4n，求证：5(1?2?3?4) 例题3 求证：任意5个连续整数中必有一个数能被5整除
200019981996199419921990nnnn?
例题4 任意9个连续自然数中，最多有几个质数？
任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数
求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除
任意10个整数中，至少有几个数的两两之差是3的倍数？
任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除
求证：任意k个连续整数中必有一个能被k整除。
练习：证明：当n?Z且n?9q?r(0?r?9)时，r只可能是0，1，8.
例题 b是非零整数，若d，d，?d是它的全
312k体约数，则db，db，?db也是它的全体约数。
12k例题 若n?Z，则n(n?1)?k(!n?k?1)的值是整数。 k?N，
?结论：k个连续整数的积一定能被k！整除。
?n?l)!练习：当m，n，l?N时，(mm的值总是整!n!l!?数。
证明：当n?Z时，
n3n2n??326的值是整数
nn?例题 如果a，b?Z，且a?b，当n?N时，(a?b)(a?b) 练习
（1）当a，b?Z，且a??b，当n是双数时，(a?b)(a?b)
nn（2）当a，b?Z，且a??b，当n是单数时，(a?b)(a?b)
nn例题 当n?N时，求证：23(5?2?2) 求证：当n为非负整数时，133(11?12) 3.奇数与偶数
定义1.2 如果2a，则称a为偶数，常用2k（k?Z）表示，大于零的偶数叫做双数。 如果2a，则称a为奇数，常用2k+1或2k-1（k?Z）表示。大于零的奇数叫做单数。 奇数与偶数的性质
性质1 任意几个偶数的和还是偶数； 性质2 双数个奇数的和是偶数 性质3 奇数与偶数的和是奇数
性质4 任一奇数与任一偶数不相等
例题 已知x，y?Z，且x?4y?1，试讨论x，y的奇偶性。
2n?1n?4n?1?n?22n?12