二面角的几种求法
4.1概念法
顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1：如图2所示，在四面体ABCD中，AC?AB?1,CD?BD?2,AD?3。求二面角A?BC?D的大小。
图2
分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC的中点是E，接AE和DE。
CD?BD?2，根据已知的条件AC?AB?1，可以知道AE?BC且DE?BC。又BC是平面ABC和平面DBC的交线。
根据定义，可以得出：?AED即为二面角A?BC?D的平面角。 可以求出AE?3，DE?3，并且AD?3。 2根据余弦定理知：
AE?DE?AD?2AE?DE222(cos?AED?32)?(3)2?3272?? 432??327即二面角A?BC?D的大小为??arccos。
4同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
1
例2：如图3所示，ABCD是正方形，PB?平面ABCD，PB?AB?1，求二面角
A?PD?C的大小。
图3
解：作辅助线CE?PD于点E，连接AC、AE。
由于AD?CD，PA?PC，所以三角形PAD?三角形PCD。即AE?PD。由于
CE?PD，所以?AEC即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：PC?2，PD?3，又CD?1，在三角形PCD中可以计算得到CE?66。由此可以得到：AE?CE?，又AC?2。 3322222??2AE?CE?AC133由余弦定理：cos?AEC???? 22AE?AC22?32? 即：?AEC?。
34.2空间变换法
空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
2
例3：如图4所示，现有平面?和平面?，它们的交线是直线DE，点F在平面?内，点C在平面?内。求二面角F?DE?C的大小。
图4
分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面?于点B。 4.2.1补角法
直接求解二面角F?DE?C的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角
C?DE?B。因为二面角F?DE?C与二面角C?DE?B是互补的关系，现在先求出
二面角C?DE?B后，二面角F?DE?C的大小就很容易计算了。 4.2.2三垂线法
由于CA?DE，CB?平面?。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面?内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即AC?DE且AB?DE，根据定义可知，二面角
C?DE?B的大小即为?CAB的大小。那么二面角F?DE?C的大小可以用补角法得
到。
4.2.3切平面法
切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线
DE，平面CAB与平面?的交线是AC，平面CAB与平面?的交线是AB，根据二面
角的定义知?CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F?DE?C的大小。
下面用例4来详细讲解一下切平面法。
3
例4： 在图5中，PA?平面ABC，?ABC?90o。其中PA?AB?1，PB?BC?E是PC的中点，DE?PC。求二面角C?BD?E的大小。
图5
解：由于E是PC的中点，且?PBC是等腰三角形，那么BD?PC。 又DE?PC，可以推出：PC?平面BDE。所以：PC?BD。 又PA?平面ABC，则BD?PA，所以BD?平面PAC。 可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。 由此，根据切平面法知?CDE即为所求二面角的平面角。 由于VCDE??CPA，那么：
CD?CECA?CP?1233?2?3，DE?CE13CA?PA?3?1?3。 又：CE?12PC?12BP2?BC2?122?2?1。 在三角形CDE中根据余弦定理可知：
4222cos?CDE?CD?DE?CE?1?1212CD?DE?332?323?34?2
3?33那么?CDE?60o。
即求二面角C?BD?E的大小是60o。
2。4
4.2.4补形法
以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。
例5：在图6中，PA?平面ABCD，四边形ABCD是一个直角梯形，其中PA?1，
AD?1，CD?1，AB?1。?BAD??ADC?90?。求平面PAD与平面PBC所成二2面角的大小。
图6
解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE。
由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BA?AD，BA?PA，那么BA?平面PED，CD?平面PED，AE?1，PE?2。
在三角形PED中，PD?PE?2，ED?AE?AD?2。那么根据勾股定理可知
?DPE?90?，即DP?PE。
CD?平面PED，DP?PE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理
知：CP?PE。
又DP?PE，即?CPD即为所求的二面角。
在Rt?CDP中，CD?1，PD?2，PC?3。那么cos?CPD?6 36。 3即：?CPD?arccos 5