第1章 质点运动学习题解答
??1-1 如图所示，质点自A点沿曲线运动到B点，A点和B点的矢径分别为rA和rB。试在图中??标出位移?r和路程?s，同时对|?r|和?r的意义及它们与矢径的关系进行说明。
?解：?r和?s如图所示。
???|?r|是矢径增量的模|rB?rA|，即位移的大小；?r是矢径
??模的增量|rB|?|rA|?rB?rA，即矢径长度的变化量。
1-2 一质点沿y轴作直线运动，其运动方程为
y?5?24t?2t3（SI）。求在计时开始的头3s内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过
的路程。
解：y?5?24t?2t3，v?24?6t2，a??12t
?y?y(3)?y(0)?18(m)
v??y?6(m/s) 3v(3)?v(0)a???18(m/s2)
3t?2s时，v?0，质点作反向运动
?s?y(2)?y(0)?|y(3)?y(2)|?46(m)
1-3 一质点沿x轴作直线运动，图示为其v?t曲线图。设t?0时，x?5m。试根据v?t图画出：(1)质点的a?t曲线图；(2)质点的x?t曲线图。
??20?20t (0?t?2)?解：v??15?2.5t (2?t?6)
?75?7.5t (6?t?10)? （1）?a?dv，可求得： dt??20?20t (0?t?2)?v??15?2.5t (2?t?6)
?75?7.5t (6?t?10)?质点的a?t曲线图如右图所示
xtdx（2）?v?，dx??vdt，
0dt?0 - 1 -
可求得：
0?t?2时，
?x5dx??(?20?20t)dt， x?10t2?20t?5
0t2?t?6时，
?x5dx??(?20?20t)dt??(15?2.5t)dt， x?022t52t?15t?30 46?t?10时，
?x5dx??(?20?20t)dt??(15?2.5t)dt??(75?7.5t)dt，
02626t x??152t?75t?210 4??10t2?20t?5 (0?t?2)??5?x??t2?15t?30 (2?t?6)
?4?152?t?75t?210 (6?t?10)??4 质点的x?t曲线图如右图所示。
1-4 如图所示，路灯距地面的高度为H，在与路灯水平距离为s处，有一气球由离地面h处开始以匀速率v0上升（h?H）。建立图示坐标系，在气球上升的高度小于H时，求气球影子M的速度和加速度与影子位置的关系。 解：
h?v0tx?sHs?，即x?
H?h?v0tHxHSv0v0x2dx v???2dt(H?h?vot)Hsdvvdv2v0x3a??? 22dtdxHs???21-5 一质点在Oxy平面内运动，运动方程为r?2ti?(19?2t)j (SI)。(1)求质点运动的轨道
2方程并画出运动轨道；(2)计算1s末和2s末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？这时，它们的x、y分量各为多少？(4)在什么时刻质点离原点最近？算出这一距离。
?????dr???dv??2r?2ti?(19?2t)j?2i?4tj，a???4j 解：，v?dtdt - 2 -
(1) x?2t，y?19?2t2
x2消t，得轨道方程：y?19?，
2其曲线为开口向下的抛物线，如右图。
??????（2）v(1)?2i?4j，v(2)?2i?8j
???? a(1)??4j，a(2)??4j
??(3)v?r?0，4t?4t(19?2t2)?0 解得：t1?0，t2?3(s)
t1?0时，x(0)?0，y(0)?19，vx(0)?2，vy(0)?0 t2?3时，x(3)?6，y(3)?1，vx(3)?2，vy(3)??12
以上物理量均为国际单位。 （4）r?4t2?(19?2t2)2
令
dr?0，解得t??3(s) dtr(?3)?37?6.08(m)
1-6 一物体沿x轴运动，其加速度和位置的关系满足a?2?6x(SI)。物体在x?0处的速度为10 m/s，求物体的速度和位置的关系。 解：x0?0，v0?10(m/s)
2?6x?dvdvdxdv???v dtdxdtdxx0?v10vdv??(2?6x)dx
v?6x2?4x?100
1-7 一质点沿x轴作直线运动，初始速度为零，初始加速度为a0，出发后每经过时间间隔?秒加速度就均匀增加a0，求出发后t秒，质点的速度和距出发点的距离。 解：a?adv?a0?0t dt? - 3 -
?v0dv??(a0?0ta0?t)dt
v?a0t?xta02dx t，?v?2?dta02t)dt 2?
?0dx??(a0t?0 x?a1a0t2?0t3 26?1-8 一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即a??kv2，式中k为正常数。试证明快艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v?v0e?kx，式中v0是发动机关闭瞬时的速度。 解：?kv2?vdvdvdxdv???v dtdxdtdxxvdvln??kx ，??kdx?v0v?0v0v?v0e?kx
1-9 一飞轮的转速在5s内由900rev/min均匀地减到800rev/min。求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。 解：?0?900?2?800?2?(rad/s)，??(rad/s) 6060（1）?????0t??2??2.09(rad/s2) 3（2）????0t? N?1225??t?150?? 23???70.8(rev) 2?（3）0????t t????40(s) ?1-10 一质点在水平面内作圆周运动，半径R?2m，角速度??kt2，式中k为正常数。当t?0时，?0??π/4，第2s末质点的线速度大小为32m/s。用角坐标表示质点的运动方程。
- 4 -
解：v??R?2kt2，v(2)?32m/s，k?4
???td?4??4t2，??d???4t2dt，??t3?(rad)
?0dt3441-11 一质点沿半径为0.01m的圆周运动，其运动方程为??6t?2t2(SI)。求：(1)法向加速度与切向加速度大小恰好相等时的角位置?1；(2)质点要回头运动时的角位置?2。 解：??6t?2t2，??d?d??6?4t，????4(rad/s2) dtdtat?R???0.04(m/s2)
an??2R?0.01(6?4t)2(m/s2)
（1）at?an，(6?4t)2?4，解得：t1?1(s)，t2?2(s)
t1?1s时?1?4(rad) t2?2s时?1?4(rad)
（2）??6?4t?0
解得t?1.5(s)，此时质点要回头运动。
t1?1.5s时?2?4.5(rad)
1-12 一质点从静止出发沿半径R?3m的圆周运动，切向加速度为at?3m/s2。(1)经过多少时
?间它的总加速度a恰好与半径成45°角？(2)在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？ 解： at?tdv?3m/s2，v??atdt?3t
0dt?（1）at?an时，a恰好与半径成45°角
(3t)2?3，解得t?1(s) 3（2）v?stds3，?ds??3tdt，s?t2 00dt2 ?s?s(1)?1.5(m) ????s?0.5(rad) R - 5 -