2019年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n﹣1，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
2．（5分）已知复数z满足i（2﹣z）＝3+i，则|z|＝（ ） A． B．5
C．
D．10
3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ） A．y
B．y＝|sinx|
C．y＝cosx
D．y＝e﹣e
x
﹣x
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S3＝a3+a7＝18，则a1＝（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C．2015年与2018年艺体达线人数相同
D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
6．（5分）如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 2 ，则 （ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z＝2x﹣y的最小值等于（ ）
A．
B．﹣2 C．
D．2
8．（5分）一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“
”组成．已知在一个显示数
字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知双曲线C： l（a＞0，b＞0）一个焦点为F（2，0），且F到双曲
线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（ ）
A．x 1
2
B．
1
C．x 1
2
D．
1
10．（5分）《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除ABC﹣A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝a，BB1＝b，CC1＝c，两条平行线AA1与BB1间的距离为h，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h′，则该羡除的体积为V （a+b+c）．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（ ）
A．3 B．
C．
D．2
11．（5分）设点P在曲线y＝lnx上，点Q在曲线y＝1 （x＞0）上，点R在直线y＝x上，
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则|PR|+|RQ|的最小值为（ ） A．
B． C．
D．
12．（5分）在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是（ ）
A．线段NO为定长
C．线段CO的长|CO|∈[1， ）
B．∠AMO+∠ADB＞180° D．点O的轨迹是圆弧
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且满足：2Sn＝an+1﹣1，则a3+a4+a5
＝ ．
14．（5分）过定点F（1，0）且与直线x＝﹣1相切的动圆圆心M的轨迹方程为 ． 15．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位后所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值为 ．
16．（5分）某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有 种（用数字作答）． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答；第22～23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC＝90°，sin∠BAC 3 ，AD＝3． （1）求BD长； （2）求cosC．
，AB＝
18．（12分）已如图，已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，将△DEC沿
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CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角． （1）证明：BE⊥CD′；
（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．
19．（12分）某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 分数区间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 2 3 5 15 40 35 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
分数 满意度指数 [0，30） 0 [30，50） 1 [50，60] 2 （1）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
（2）以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（3）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
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20．（12分）已知椭圆 ：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心 率为，短轴长为 ． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形． 21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x（m＞0）． 已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x（m＞0）． （1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m 时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为函数h（x）＝lnx﹣cx﹣bx的零点．求证（x1﹣x2）h'（x0） ln2．
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
t为参数）22．（10分）已知直线l的参数方程为 （，以坐标原点为极点，x轴
2
2
2
的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求△ABP的面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|．
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