不完全归纳法

不完全归纳法

不完全归纳法是从一个几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理。这种归纳是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论，它是一种重要的常见数学解题方法。

不完全归纳是从部分对象具有某一性质f而概括为全体对象都具有性质f 的推理方法，其一般推理形式是：

设A中共有m个对象（m为正整数），那么：因为A1具有性质f，A2具有性质f，……，An具有性质f，（n为正整数,且n

n 个四边形将平面分成的部分数可总结出规律：部分数A=2+n×(n-1)×4 圆可当封闭的1边形，那么n个圆分的部分数可仿写为：部分数A=2+n×(n-1)×1 同理n个三角形分平面的部分数公式为：部分数A=2+n×(n-1)×3 同理n个五边形分平面的部分数公式为：部分数A=2+n×(n-1)×5

例：1、如果将不相交的两条棱称为一对，那么十棱柱共有多少对不相交的棱？

答：每个棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的棱不相交。十棱柱共有30条棱，所以不相交的棱有30×（30-5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有30×（30-5）÷2=375（对）

枚举法

我们可以按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况或抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，再通过一一列举或计数，最终达到解决目的，这种方法就是枚举法。

用画枚举树的方法，必须正确理解图示顺序的实际过程。碰到情况比较复杂而要用枚举法解决问题时，常常要分类讨论，使在同一类内，用枚举法易于解决问题。正确分类要注意两点：第一，分类的标准（依据）要明确。第二，分类对所有可能情况来说，既不重复又不遗漏，即每一种情况只在某一类内出现，各类情况的总和，就是总是的所有情况。

画图枚举是一种非常有效的方法，但是在画图时应做到有序，这样才能做到不重复又不遗漏。

分类可按不同的标准进行，如果研究的对象比较复杂，最初也可适当控制分类的种数，待逐类研究时，如有必要，再作第二级分类。

解题前我们可以先初步估计其数目的大小。当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举。分类枚举的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条：（1）分类要全。分类不全，就会造成遗漏。（2）分类要清。如果不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。

递推法

数论初步