浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A）卷
5. 设?是球面x2?y2?z2?R2，则
dS＝（ ） 222??x?y?z?22A. 4?R B. 4? C. ?R D. ?
承诺人签名： 学号： 班级： ?6. 若． an(x?1)n在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）
n?1（本试卷共四页）
?一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值为（ ）
A.极大值为8 B．极小值为0 C.极小值为8 D.
极大值为0
A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 曲面z?xy上点M处的法线垂直于平面2x?y?z?5，则M的坐标是 ;
2. 设u?2xy?z2，则u在(2,?1,1)处的方向导数的最大值为 ;
12y?y22.二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；
④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）
A．③C. ③
3. 曲线?①④
④ B. ③① D. ②
②③
① ①
?x?y?z?2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. 22z?x?y?3. 交换积分顺序，有dy0??y?f?x,y?dx?______________________ ; A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，
0，-1） 4. 设I? A.
x??eD24. 设椭圆
L：
x2y2??1的周长为43l，则
?y2d?, D:x2?y2?4, 则I?（ ）
?4(e?1) B. 2?(e4?1) C. ?(e4?1) D. ?e4 2?L(3x?2y)2ds? ;
5. 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(?1,1]的定义为
1
?2?1?x?0，则f(x)的傅里叶级数在x?1收敛f(x)???x0?x?1于 .
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）
4. 计算
22?，其中是由柱面x?y?1及平面xydxdydz????z?1,x?0,y?0所围成且在第一卦限内的区域.
5. 求曲线积分
?x?2y?z?1?0xyz1．求过点M（4,-3,1）且与两直线：??和?都
62?3?2x?z?2?0平行的平面方程．
?(xL2?2y)dx?(x?sin2y)dy，其中L是沿曲线
y?1?2x?x2由点（0，1）到点（2，1）的弧段.
6. 计算曲面积分
2y??dzdx?zdxdy，其中?是球面?x?z?2z2. 设z?f(xy,)?siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,y?x?x?y
3. 将函数f(x)?x2?y2?z24?(的z?0上侧).
1展开为x?3的幂级数，并求收敛域. x
四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
2
1. 验证(3x2y?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy在整个 xoy平面内是某一
dxf?x,01y?dy?dx1f?x,1y?dy;
函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
?2. 求幂级数?nn?1?nnx的收敛域、和函数以及数项级数15?n的和.
n?n?15
?五、证明题（4分）设?a2?ann收敛，证明级数绝对收敛. n?1?n?1n
一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）
1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）
1. (-1,2,-2); 2. 26; ??1??x?0?1?1?x24. 12l; 5.
32 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. ?
s1??(6,2,?3),
?i?jk?s2?12?1?(?2,?1,?4), ………2分
20?1取
平
?为
i?面
j?的法向量kn???s?1?s2?62?3?(?11,30,?2) ………2分
?2?1?4所以平面方程为：?11(x?4)?30(y?3)?(z?1)?0，即
1x1?3y0?z?13?…52分
2.
?z?x?(fy?f111??2??y)?0?yf1??yf2?, ……………2分 ?2z?x?y?f1??y[f11???x?f?x11x12???(y2)]?y2f2??y[f21???x?f22???(?y2)] ?f3.
1??xyf11???1y?x2f2?y3f22??. .………4分 3
1113.解：f(x)?=?, ……………2分
x?33?(x?3)31?()3因为
?=
π201π34sin2?d??1rdr2rcos2?02=(?)?440101?. ………3分 85. 解：令P?x2?2y，Q??(x?sin2y),则
?(?1)nxn?n?0?1，x?(?1,1), 1?x?Q?P??1, ………2分 ??2,?x?y 选择BA:y?1由B（2，1）到A（0，1）,则由格林公式得
原
式
B1所以?3?1x?3n?1n1??(?1)?()=?(?1)n()n?1(x?3)n, x?3333n?01?()n?03???L?(x2??Q?P?)dxdy??(x2?2y)dx?(x?sin2y)dy
AB?x?y22?2y其中?1?x?3?1 ，即0?x?6. ……………3分 3?………2分
?11当x?0时，级数为?发散；当x?6时，级数为?(?1)n?发散,故
3n?03n?0????(D????dxdy??(x?2)dx????dxdy??(x2?2)dx??D02?D08??4.231?1=?(?1)n()n?1(x?3)n，x?(0,6). ………1分 xn?03 ………2分
22?:z?0 (x?y?4)下侧。 16. 解：补上
?0?z?1,?π4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时?:?0???,2??0?r?1,
所以
??ydzdx?zdxdy???z 1 ??2???1y2dzdx?zdxdy???y2dzdx?zdxdy..............2分?1????(2y?1)dxdydz?0............................................3分1 ???xydxdydz???π20d??0dr?0rcos??rsin??rdz ………3分
11O ????2ydxdydz????dxdydz?对称性y ?x ?0?16?16??.........................3分33
4
四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 2232y??nn?1nn?1xx5 s(x)??nx?(??ntdt)??[?()n]??()??2?x1. 证明：P?3xy?8xy,Q?x?8xy?12ye
n?15n?105n?15?P?Q………2分
?y??x?3x2?16xy，故Pdx?Qdy是
某一函数u(x,y)的全微于是s(1)=
516. ……….2分 分． ……3分 五、证明题（4分）
所以u(x,y)??(x,y)(0,0)(3x2y?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy
,
?0??y0(x3?8x2y?12yey)dy?x3y?4x2y2?12yey?12ey?12
………2分
…
………5分
n而与都收敛，由比较法及其性质知：
2. ??liman?1?n?1?5n??a?lim?1?R?5, 收敛区间为
nn??n5n?15(-5,5). ………2分
故
绝对收敛。 ??n?1收敛, 又当x?5时，级数?n发散；当x??5时，级数??1?n发散; 分
n?15?n?15所以收敛域为
(?5,5)； ………2分
5
5?x(5?x) ………2