专题五 函数压轴题
类型一 动点函数图象问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
(2016·济南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M，N，E分别是AB，AD，CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3.点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB－BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND－DC－CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t s，则S与t之间的函数关系的大致图象为( )
【分析】 由点Q从点N出发，沿折线ND－DC－CE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．
1．(2017·白银)如图1，在边长为4 cm的正方形ABCD中，点P以每秒2 cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数图象如图2所示．当点P运动2.5 s时，PQ的长是( )
图1 图2
A．22 cm B．32 cm C．42 cm D．52 cm
2．(2017·葫芦岛)如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH.设点P运动的距离为x(0＜x≤2)，△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
类型二 二次函数综合题
二次函数的综合题是中考数学的必考问题，一般作为压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大，是考生失分的重灾区． 1．二次函数动点问题
(2017·滨州)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)，B(0，
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3)，抛物线y＝－x＋2x＋1与y轴交于点C. (1)求直线y＝kx＋b的函数表达式；
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(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数表达式，并求d取最小值时点P的坐标；
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(3)若点E在抛物线y＝－x＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
【分析】 (1)利用待定系数法可求得直线表达式；
(2)过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，3
设H(m，m＋3)，利用相似三角形的性质可得到d与x的函数表达式，再利用二次函数的性质可求得d取
4得最小值时的P点的坐标；
(3)设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质确定出C′点的坐标，利用(2)中所求函数关系式求得d的值，即可求得CE＋EF的最小值．
解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算.
3．(2016·东营)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别是(0，4 (－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′. (1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的表达式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
2．二次函数存在点问题
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(2017·临沂)如图，抛物线y＝ax＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求抛物线的表达式；
(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】 (1)利用待定系数法可求得直线表达式；(2)先求出直线AB的表达式，然后求出直线AB与y轴的交点坐标，进而求出OB＝OD，得出点D的坐标；(3)以AB为对角线和以AB为边分别讨论，从而得出结论．
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.
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4．(2016·日照)如图1，抛物线y＝－[(x－2)＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点
5B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC. (1)求m，n的值；
(2)如图2，点M，P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM，PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形、△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．二次函数相似问题
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(2017·枣庄)如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐
2标为(6，0)，点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD. (1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；
(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
备用图
【分析】 (1)由B，C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线表达式，再求其顶点D即可；
(2)过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
(3)由M，N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线表达式可求得Q点的坐标．
二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存在点的坐标表示出与相似三角形有关的线段长，要注意边的对应有多种可能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例列出方程，通过解方程求得结果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况．
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5．(2016·济南)如图1，抛物线y＝ax＋(a＋3)x＋3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B.在x轴上有一动点E(m，0)(0 (1)求a的值和直线AB的函数表达式； C16 (2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值； C25 (3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接 2 E′A，E′B，求E′A＋E′B的最小值． 3 2 6．(2016·莱芜)如图，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(4，0)，C(－2，－3)，直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点E在直线BC的上方，过点E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G(F在G的左侧)，求△EFG的周长的最大值； (3)是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形，如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 【例1】 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G， 当0≤t≤2时，点Q在线段ND上． ∵AB∥CD，∠B＝90°， ∴四边形BCDF是矩形， ∴DF＝BC＝4， ∴AF＝AD－DF＝3， ∴DC＝BF＝2， ∴AQ＝AN＋NQ＝3＋t，AP＝AM＋MP＝1＋t. ∵QG∥DF，∴△AQG∽△ADF， 2 2